25 Massa

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Aula 25 - Densidade e Centro de Massa
Objetivos da Aula:
✓ Estudar algumas aplicações de integrais duplas;
✓ Calcular a massa de uma lâmina com densidade variável;
✓ Calcular o centro de massa de uma lâmina.
1 Densidade e Massa
Ao longo do nosso estudo, já vimos algumas aplicações da integral dupla, como o cálculo de
volumes e o do valor médio. Vamos agora explorar as aplicações f́ısicas, começando com o
cálculo de massa.
Suponha que uma lâmina ocupe uma região D do plano xy, conforme a figura abaixo, e que
sua densidade (em unidades de massa por unidade de área) em um ponto (x, y) ∈ D é dada
por uma função cont́ınua ρ(x, y).
Caso a densidade fosse constante ao longo da lâmina, calcular a massa desse corpo se
resumiria a multiplicar a área da lâmina pelo valor da densidade. Entretanto, no nosso caso,
estamos considerando uma densidade variável, ou seja, para cada ponto da lâmina, a densidade
pode ter um valor diferente.
1
2 Prof. Tiago Coelho
Sendo assim, para determinarmos a massa total m da lâmina, dividimos um retângulo R
contendo D em sub-retângulos de mesmo tamanho, conforme a figura abaixo. Considere que a
densidade é nula fora de D e que, escolhendo um ponto arbitrário (x∗
ij, y
∗
ij) ∈ Rij, a massa do
sub-retângulo é aproximadamente ρ(x∗
ij, y
∗
ij)∆A, sendo ∆A a área de Rij.
Somando as massas de cada sub-retângulo, obtemos uma aproximação da massa total:
m ≈
m∑
i=1
n∑
j=1
ρ(x∗
ij, y
∗
ij)∆A.
Portanto, a massa da lâmina é calculada pela integral dupla:
m = lim
m,n→∞
m∑
i=1
n∑
j=1
ρ(x∗
ij, y
∗
ij)∆A =
∫∫
D
ρ(x, y)dA.
Exemplo
Uma massa está distribúıda sobre o disco x2 + y2 ≤ 1, de modo que a densidade é
ρ(x, y) =
√
x2 + y2,
medida em quilos por metro quadrado. Determine a massa total.
Solução:
Note que, pela geometria da lâmina, esse problema é resolvido de forma mais simples usando
coordenadas polares, sendo D a região de integração dada por
D = {(r, θ) ∈ R2; 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Logo,
m =
∫∫
D
ρ(x, y)dA =
∫ 1
0
∫ 2π
0
ρ(r cos θ, r sen θ)r dθdr
=
∫ 1
0
∫ 2π
0
√
r2r dθdr
=
∫ 1
0
∫ 2π
0
r2 dθdr
=
1
3
r3
∣∣∣∣1
0
θ
∣∣∣∣2π
0
=
2
3
π kg
UFPA Cálculo II 3
2 Momento e Centro de Massa
Uma vez calculada a massa de uma lâmina, podemos também determinar a posição do Centro
de Massa, que é um ponto (x̄, ȳ) da lâmina onde ela permanece equilibrada, conforme a figura
abaixo. O significado f́ısico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse
concentrada em seu centro de massa. Mais uma vez, estamos considerando que a lâmina ocupa
uma região D e tem ρ(x, y) como função densidade.
Antes de determinar a posição do centro de massa, precisamos ainda calcular o Momento
da lâmina em relação aos eixos do plano cartesiano. Lembrando que momento é uma grandeza
f́ısica definida como o produto da massa de um corpo pela distância (perpendicular) a um eixo.
Apesar da densidade ser variável, podemos calcular o momento de modo análogo ao que foi
feito na seção anterior. Sendo assim, o momento em relação ao eixo x de um sub-retângulo Rij
é igual à massa ρ(x∗
ij, y
∗
ij)∆A multiplicada pela distância ao eixo x, representada por y∗ij.
Logo, somando os momentos de cada sub-retângulo e tomando o limite quando o número
de sub-retângulos cresce indefinidamente, obtemos o momento da lâmina em relação ao eixo x:
Mx = lim
m,n→∞
m∑
i=1
n∑
j=1
y∗ijρ(x
∗
ij, y
∗
ij)∆A =
∫∫
D
yρ(x, y)dA.
Da mesma forma, o momento da lâmina em relação ao eixo y é calculado pela expressão
My = lim
m,n→∞
m∑
i=1
n∑
j=1
x∗
ijρ(x
∗
ij, y
∗
ij)∆A =
∫∫
D
xρ(x, y)dA.
Por fim, as coordenadas (x̄, ȳ) do centro de massa são
x̄ =
My
m
=
∫∫
D
xρ(x, y)dA∫∫
D
ρ(x, y)dA
e ȳ =
Mx
m
=
∫∫
D
yρ(x, y)dA∫∫
D
ρ(x, y)dA
.
Exemplos
(01) Determine o centro de massa de uma lâmina semicircular com densidade constante.
Solução:
Considerando um semićırculo de centro na origem e raio r0, a região de integração é
D = {(r, θ) ∈ R2; 0 ≤ r ≤ r0 e 0 ≤ θ ≤ π}.
4 Prof. Tiago Coelho
Calculando a massa, obtemos:
m =
∫∫
D
ρ dA = ρ
∫ r0
0
∫ π
0
r dθdr =
ρ
2
πr20.
Além disso, temos que
My =
∫∫
D
xρ dA = ρ
∫ r0
0
∫ π
0
r2 cos θ dθdr = ρ
∫ r0
0
r2dr
∫ π
0
cos θdθ = 0
e
Mx =
∫∫
D
yρ dA = ρ
∫ r0
0
∫ π
0
r2sen θ dθdr =
2ρ
3
r30.
Logo,
(x̄, ȳ) =
(
My
m
,
Mx
m
)
=
(
0,
4r0
3π
)
.
□
(02) Determine o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2),
se a função densidade for
ρ(x, y) = 1 + 3x+ y.
Solução:
Usando os pontos (1, 0) e (0, 2), obtemos a função y = −2x+2. Então a região de integração
pode ser escrita como
D = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ −2x+ 2}.
Calculando a massa, obtemos:
m =
∫∫
D
ρ(x, y)dA =
∫ 1
0
∫ 2−2x
0
(1 + 3x+ y) dydx
=
∫ 1
0
[
y + 3xy +
y2
2
]2−2x
0
dx
= 4
∫ 1
0
(1− x2)dx
=
8
3
.
Além disso, temos que
My =
∫∫
D
xρ(x, y)dA =
∫ 1
0
∫ 2−2x
0
x(1 + 3x+ y) dydx
=
∫ 1
0
[
xy + 3x2y +
xy2
2
]2−2x
0
dx
= 4
∫ 1
0
(x− x3)dx
= 1.
UFPA Cálculo II 5
e
Mx =
∫∫
D
yρ(x, y)dA =
∫ 1
0
∫ 2−2x
0
y(1 + 3x+ y) dydx
=
∫ 1
0
[
y2
2
+
3
2
xy2 +
y3
3
]2−2x
0
dx
=
2
3
∫ 1
0
(7− 9x− 3x2 + 5x3)dx
=
11
6
.
Logo,
(x̄, ȳ) =
(
My
m
,
Mx
m
)
=
(
3
8
,
11
16
)
.
□
Aprofundando o Contéudo
Leia mais sobre o contéudo desta aula na Seção 15.5 do livro-texto.
Sugestões de Exerćıcios
Resolva os exerćıcios da Seção 15.5 do livro-texto.
Fonte: STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2010 (Volume 2).
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