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- Resposta e explicação: \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \), então \( \tan^{-
1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \). 
 
51. Determine o valor de \( \cos\left(\sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) + \cos^{-
1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) \). 
 - Resposta e explicação: Se \( \sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) = \theta \) e \( \cos^{-
1}\left(\frac{3}{4}\right) = \phi \), então \( \cos\left(\theta + \phi\right) = -\frac{1}{3} \). 
 
52. Calcule \( \tan\left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \). 
 - Resposta e explicação: \( \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \), então \( 
\tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). 
 
53. Qual é o valor de 
 
 \( \cos\left(\sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) - \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)\right) \)? 
 - Resposta e explicação: Se \( \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) = \theta \) e \( \cos^{-
1}\left(\frac{12}{13}\right) = \phi \), então \( \cos\left(\theta - \phi\right) = \frac{12}{13} \). 
 
54. Determine o valor de \( \sin\left(2\tan^{-1}(3)\right) \). 
 - Resposta e explicação: Se \( \tan^{-1}(3) = \theta \), então \( \sin\left(2\theta\right) = 
\frac{24}{25} \). 
 
55. Se \( \sin(x) = \frac{3}{5} \) e \( \cos(y) = \frac{12}{13} \), determine \( \sin(x+y) \). 
 - Resposta e explicação: Utilizando a fórmula para a soma de arco na função seno, 
obtemos \( \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \sqrt{1 
- \left(\frac{3}{5}\right)^2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{36}{65} + 
\frac{9\sqrt{119}}{65} \). 
 
56. Qual é o valor de \( \tan\left(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \sin^{-
1}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \)? 
 - Resposta e explicação: Se \( \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \) e \( \sin^{-
1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \), então \( \tan\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 
\sqrt{3} \). 
 
57. Determine o valor de \( \cos\left(\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) - \tan^{-
1}\left(\frac{12}{5}\right)\right) \). 
 - Resposta e explicação: Se \( \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) = \theta \) e \( \tan^{-
1}\left(\frac{12}{5}\right) = \phi \), então \( \cos(\theta - \phi) = \frac{12}{13} \). 
 
58. Qual é o valor de \( \sin\left(\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) - \sin^{-
1}\left(\frac{3}{5}\right)\right) \)? 
 - Resposta e explicação: Se \( \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \theta \) e \( \sin^{-
1}\left(\frac{3}{5}\right) = \phi \), então \( \sin\left(\theta - \phi\right) = \frac{3}{5} \). 
 
59. Determine o valor de \( \tan\left(\cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right) - \sin^{-
1}\left(\frac{4}{5}\right)\right) \). 
 - Resposta e explicação: Se \( \cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right) = \theta \) e \( \sin^{-
1}\left(\frac{4}{5}\right) = \phi \), então \( \tan\left(\theta - \phi\right) = -\frac{1}{2} \). 
 
60. Calcule \( \cos\left(\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) + \tan^{-
1}\left(\frac{12}{5}\right)\right) \). 
 - Resposta e explicação: Se \( \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) = \theta \) e \( \tan^{-
1}\left(\frac{12}{5}\right) = \phi \), então \( \cos\left(\theta + \phi\right) = \frac{5}{13} \). 
 
61. Qual é o valor de \( \tan\left(\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right) \)? 
 - Resposta e explicação: \( \tan\left(\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right) = 
\tan\left(\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}\right) = -1 \). 
 
62. Determine o valor de \( \sin\left(\cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right) + \sin^{-
1}\left(\frac{4}{5}\right)\right) \). 
 - Resposta e explicação: Se \( \cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right) = \theta \) e \( \sin^{-
1}\left(\frac{4}{5}\right) = \phi \), então \( \sin\left(\theta + \phi\right) = \frac{4}{5} \). 
 
63. Qual é o valor de \( \cos\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{4}\right) \)? 
 - Resposta e explicação: \( \cos\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{4}\right) = 
\cos\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{12}\right) = 
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \). 
 
64. Determine o valor de \( \sin\left(\cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) - \sin^{-
1}\left(\frac{4}{5}\right)\right) \). 
 - Resposta e explicação: Se \( \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \theta \) e \( \sin^{-
1}\left(\frac{4}{5}\right) = \phi \), então \( \sin\left(\theta - \phi\right) = \frac{4}{5} \).