Cálculos de Derivadas e Integrais

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18. Encontre a derivada da função \( f(x) = x^2 \cos(x) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( f'(x) = 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) \). 
 
19. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) e \( x = 
\ln(2) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 A área é \( 2 - 1 \). 
 
20. Calcule a derivada da função \( y = \frac{\ln(x)}{x} \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \). 
 
21. Encontre a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 3} \, dx \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 3} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x + 1) - \frac{1}{2} \ln(x + 3) + C \). 
 
22. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) e \( 
x = 1 \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 A área é \( \frac{2}{3} \). 
 
23. Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\cos(x)) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( f'(x) = -\tan(x) \). 
 
24. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas \( 
y = \sqrt{x} \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) em torno do eixo \( y \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 O volume é \( \frac{\pi}{5} \). 
 
25. Determine a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \sqrt{1 + x^2} + C \). 
 
26. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \). 
 
27. Encontre a derivada da função \( f(x) = x^3 \sin(x) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( f'(x) = 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) \). 
 
28. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \ln(x) \), \( y = 0 \), \( x = 1 \) e \( x 
= e^3 \ 
 
). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 A área é \( e^3 - 1 \). 
 
29. Calcule a derivada da função \( y = \arctan(\sqrt{x}) \).