F(X)=^3✓X(8-X) [0,8] DERIVA ACHA OS PONTOS CRITICO MÁXIMO E MÍNIMO

Para encontrar os pontos críticos de uma função, precisamos encontrar sua primeira derivada e igualá-la a zero. Então, vamos derivar a função dada: f(x) = ^3✓x(8-x) f'(x) = (1/3)x^(-2/3)(8-x) - (1/3)x^(1/3)(-1) Agora, vamos igualar a derivada a zero e resolver para x: (1/3)x^(-2/3)(8-x) - (1/3)x^(1/3)(-1) = 0 8 - x = x^2 x^2 + x - 8 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: x = 1,561 ou x = -5,162 No entanto, o intervalo dado é [0,8], então a solução x = -5,162 é inválida. Portanto, o único ponto crítico é x = 1,561. Para determinar se é um máximo ou mínimo, podemos usar a segunda derivada: f''(x) = (-2/9)x^(-5/3) - (2/9)x^(-2/3) Substituindo x = 1,561, temos: f''(1,561) = -0,758 Como a segunda derivada é negativa, podemos concluir que o ponto crítico x = 1,561 é um máximo local da função f(x).