Cálculos de Derivadas e Integrais

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**Resposta e Explicação:** 
 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \). 
 
42. Encontre a derivada da função \( f(x) = x^3 \sin(x) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( f'(x) = 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) \). 
 
43. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \ln(x) \), \( y = 0 \), \( x = 1 \) e \( x 
= e^3 \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 A área é \( e^3 - 1 \). 
 
44. Calcule a derivada da função \( y = \arctan(\sqrt{x}) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x(x+1)}} \). 
 
45. Encontre a integral \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^3}} \, dx \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^3}} \, dx = \frac{2}{3}(1 + x^3)^{3/2} + C \). 
 
46. Determine a equação da tangente à curva \( y = \arcsin(x^2) \) que passa pelo ponto \( 
(0, 0) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 A equação da tangente é \( y = 2x \). 
 
47. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{\sin(2x)} \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{\sin(2x)} = 2 \). 
 
48. Encontre a derivada da função \( f(x) = x^2 \cos(x) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( f'(x) = 2x \cos(x) - x^2 \sin(x) \). 
 
49. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) e \( x = 
\ln(3) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 A área é \( 3 - 1 \). 
 
50. Calcule a derivada da função \( y = \frac{\ln(x)}{x} \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \). 
 
51. Encontre a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 5x + 6} \, dx \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 \( \int \frac{1}{x^2 + 5x + 6} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x + 2) - \frac{1}{2} \ln(x + 3) + C \). 
 
52. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) e \( 
x = 4 \). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 A área é \( 8/3 \). 
 
53. Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\cos(x)) \).