382. Problema: Qual é o valor de \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \)? Resposta: \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1 + e^{...

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição simples. Vamos chamar \( u = e^x \), então \( du = e^x \, dx \). Substituindo na integral dada, temos: \[ \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \int \frac{1}{1 + e^{x} \cdot e^{x}} \, du = \int \frac{1}{1 + u^2} \, du \] Essa integral é conhecida como a integral da tangente inversa, e sua solução é \( \frac{1}{2} \ln(1 + u^2) + C \). Substituindo de volta \( u = e^x \), obtemos: \[ \frac{1}{2} \ln(1 + e^{2x}) + C \] Portanto, o valor da integral \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \) é \( \frac{1}{2} \ln(1 + e^{2x}) + C \).