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Para resolver a equação diferencial y'' + 2y' + y = e^{-x}, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada y'' + 2y' + y = 0. A solução homogênea é y_h = (C_1 + C_2x)e^{-x}. Em seguida, para encontrar a solução particular, utilizamos o método da variação dos parâmetros. Supomos que a solução particular é da forma y_p = u_1(x)e^{-x}, onde u_1(x) é uma função a determinar. Substituímos y_p na equação diferencial original e resolvemos para encontrar u_1(x). Após encontrar u_1(x), a solução geral da equação diferencial y'' + 2y' + y = e^{-x} será a soma da solução homogênea y_h com a solução particular y_p. Portanto, a solução geral da equação diferencial y'' + 2y' + y = e^{-x} será y = (C_1 + C_2x)e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-x}.
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