apostila-594

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700. **Equações Diferenciais Ordinárias** 
 - Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 2xy = x \) utilizando o método do fator 
integrante. 
 Resposta: Aplicação do método do fator integrante para resolver a equação diferencial. 
 
701. **Álgebra Linear** 
 - Problema: Seja \( A \) uma matriz \( 3 \times 3 \) tal que \( A^2 = A \). Mostre que \( A \) é 
diagonalizável. 
 Resposta: Demonstração utilizando propriedades de matrizes idempotentes. 
 
702. **Cálculo Diferencial** 
 - Problema: Encontre os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy 
\). 
 Resposta: Cálculo dos pontos críticos e análise da matriz hessiana. 
 
703. **Teoria dos Números** 
 - Problema: Prove que se \( p \) é um primo ímpar, então \( p^2 \equiv 1 \pmod{8} \). 
 Resposta: Utilização das propriedades dos números primos e congruências. 
 
704. **Geometria Euclidiana** 
 - Problema: Mostre que a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono é \( 
540^\circ \). 
 Resposta: Utilização da fórmula geral para a soma dos ângulos internos de um polígono. 
 
705. **Probabilidade e Estatística** 
 - Problema: Um dado honesto é lançado 5 vezes. Qual é a probabilidade de que pelo 
menos um dos lançamentos resulte em um número par? 
 Resposta: Cálculo da probabilidade complementar e aplicação da distribuição 
binomial. 
 
706. **Análise Real** 
 - Problema: Prove que uma função contínua \( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) que satisfaz \( 
f(x) = f(x^2) \) para todo \( x \in [a, b] \) é constante. 
 Resposta: Demonstração utilizando o argumento de continuidade e comportamento da 
função. 
 
707. **Geometria Projetiva** 
 - Problema: Defina o que é um ponto de fuga em perspectiva central e explique sua 
importância na geometria projetiva. 
 Resposta: Definição e aplicação dos pontos de fuga na representação de figuras em 
perspectiva. 
 
708. **Álgebra Abstrata** 
 - Problema: Seja \( G \) um grupo finito. Mostre que se \( |G| \) é um número ímpar, então 
\( G \) possui um elemento de ordem 2. 
 Resposta: Utilização do teorema de Cauchy para grupos finitos. 
 
709. **Cálculo Integral** 
 - Problema: Calcule \( \int \frac{x^3}{(x^2 + 1)^2} \, dx \). 
 Resposta: Utilização de substituição trigonométrica e técnicas de integração por partes. 
 
710. **Teoria dos Conjuntos** 
 - Problema: Demonstre que o conjunto dos números racionais é denso no conjunto dos 
números reais. 
 Resposta: Utilização de argumentos de densidade e construção de sequências de 
racionais aproximando irracionais. 
 
711. **Topologia Geral** 
 - Problema: Defina o que é uma base de uma topologia e prove que qualquer 
subconjunto de uma base gera a topologia correspondente. 
 Resposta: Definição de base, demonstração da geração da topologia. 
 
712. **Equações Diferenciais Ordinárias** 
 - Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 2xy = x \) utilizando o método do fator 
integrante. 
 Resposta: Aplicação do método do fator integrante para resolver a equação diferencial.