635. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = x e^{2x} \). Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2 x...

Para determinar a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = x e^{2x} \), podemos considerar a solução da equação homogênea associada \( y'' - 4y' + 4y = 0 \), que é \( y_h(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes a serem determinadas. Para encontrar a solução particular da equação não homogênea, podemos assumir uma solução da forma \( y_p(x) = Ax^2 e^{2x} \), onde \( A \) é uma constante a ser determinada. Substituindo \( y_p(x) \) na equação original, encontramos o valor de \( A \) e, assim, obtemos a solução particular. A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular, ou seja, \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x} + \frac{x^2 e^{2x}}{2} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes.