Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} \). a) \(\frac{3}{4}\) b) \(\frac{1}{2}\) c) \(\frac{2}{3}\)

Para determinar o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} \), podemos utilizar propriedades trigonométricas para simplificar a expressão. Sabemos que \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Substituindo na expressão dada, temos: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\frac{\sin 2x}{\cos 2x}} \). Podemos simplificar essa expressão multiplicando pelo inverso da divisão, resultando em: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cdot \cos 2x}{\sin 2x} \). Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica \( \sin(a+b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b \) para expandir \( \sin 3x \) e \( \cos 2x \): \( \sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x \). Substituindo na expressão, temos: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cdot \cos 2x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x) \cdot \cos 2x}{\sin 2x} \). Simplificando, obtemos: \( \lim_{x \to 0} (\cos x + \cos 2x \cdot \tan x) \). Agora, podemos substituir \( x = 0 \) na expressão simplificada: \( \cos 0 + \cos 0 \cdot \tan 0 = 1 + 1 \cdot 0 = 1 \). Portanto, o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} \) é 1. Assim, a alternativa correta é: não está presente nas opções fornecidas.