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117. **Equações Diferenciais Parciais** 
 - Problema: Resolva a equação do calor unidimensional \( u_t = k u_{xx} \) com condição 
inicial \( u(x,0) = \sin(\pi x) \) e condição de contorno \( u(0,t) = u(1,t) = 0 \). 
 Resposta: Utilização do método de separação de variáveis e série de Fourier. 
 
118. **Teoria dos Conjuntos** 
 - Problema: Mostre que o conjunto dos números racionais \( \mathbb{Q} \) é numerável. 
 Resposta: Demonstração de que \( \mathbb{Q} \) pode ser colocado em 
correspondência biunívoca com os números inteiros. 
 
119. **Análise Real** 
 - Problema: Prove que se \( (a_n) \) é uma sequência monotônica e limitada, então \( 
(a_n) \) converge. 
 Resposta: Utilização do critério de Cauchy para sequências. 
 
120. **Matemática Discreta** 
 - Problema: Defina o que é um conjunto finito e um conjunto infinito. 
 Resposta: Caracterização de conjuntos cujos elementos podem ser contados ou não. 
 
121. **Teoria da Computação** 
 - Problema: Explique o que é um autômato finito não-determinístico (AFND). 
 Resposta: Definição de autômato com estados finitos que aceita linguagens regulares 
com transições não determinísticas. 
 
122. **Geometria Algébrica** 
 - Problema: Defina o que é uma variedade abeliana. 
 Resposta: Explicação de variedades algébricas complexas que são também grupos 
algébricos. 
 
123. **Teoria dos Números** 
 - Problema: Demonstre que a soma dos ângulos internos de um triângulo é \( \pi \) 
radianos. 
 Resposta: Utilização da geometria euclidiana e da definição de ângulos. 
 
124. **Geometria Analítica** 
 - Problema: Determine a equação da esfera que passa pelos pontos \( (1, 2, 3) \), \( (4, 5, 
6) \) e \( (7, 8, 9) \). 
 Resposta: Aplicação da equação geral da esfera e resolução do sistema de equações. 
 
125. **Álgebra Linear** 
 - Problema: Seja \( A \) uma matriz \( 3 \times 3 \) com autovalores \( 1, 2, 3 \). Determine 
\( \det(A^{-1}) \). 
 Resposta: Relação entre determinante de uma matriz e sua inversa. 
 
126. **Cálculo Multivariado** 
 - Problema: Calcule \( \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \), onde \( V \) é o sólido delimitado 
pelo cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) e o plano \( z = 1 \). 
 Resposta: Conversão para coordenadas cilíndricas e integração tripla. 
 
127. **Equações Diferenciais Parciais** 
 - Problema: Resolva a equação da onda unidimensional 
 
 \( u_{tt} = 9u_{xx} \) com condições iniciais \( u(x,0) = \sin(\pi x) \) e \( u_t(x,0) = 0 \). 
 Resposta: Utilização do método de separação de variáveis e série de Fourier. 
 
128. **Teoria dos Grafos** 
 - Problema: Prove que um grafo conexo com \( n \) vértices e \( n-1 \) arestas é uma 
árvore. 
 Resposta: Verificação das propriedades de grafos e suas conexões. 
 
129. **Matemática Discreta** 
 - Problema: Demonstre que \( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n} \). 
 Resposta: Utilização de identidades binomiais. 
 
130. **Teoria da Computação**