Resolução de Equações e Fatoração

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**Resolução:** Fatorando o numerador e o denominador, temos \( \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 
4)}{(x - 2)(x + 2)} \). Cancelando o fator comum \( x^2 - 4 \), obtemos \( x^2 + 4 \). 
 **Resposta:** \( x^2 + 4 \). 
 
48. **Problema:** Resolve a equação \( 2^{x-2} = 8 \). 
 **Resolução:** Escrevendo 8 como \( 2^3 \), temos \( 2^{x-2} = 2^3 \). Igualando os 
expoentes, obtemos \( x - 2 = 3 \), então \( x = 5 \). 
 **Resposta:** \( x = 5 \). 
 
49. **Problema:** Fatora completamente a expressão \( 4x^4 - 16y^4 \). 
 **Resolução:** Utilizando a diferença de quadrados, temos \( 4x^4 - 16y^4 = 4(x^2 - 
2y^2)(x^2 + 2y^2) \). 
 **Resposta:** \( 4(x^2 - 2y^2)(x^2 + 2y^2) \). 
 
50. **Problema:** Simplifica a expressão \( \frac{x^3 - 1}{x^2 + 2x + 1} \). 
 **Resolução:** Fatorando o numerador e o denominador, temos \( \frac{(x - 1)(x^2 + x + 
1)}{(x + 1)^2} \). Cancelando o fator comum \( x + 1 \), obtemos \( x - 1 \). 
 **Resposta:** \( x - 1 \). 
 
51. **Problema:** Resolve a equação \( \frac{3}{x+1} = \frac{2}{x-2} + 1 \). 
 **Resolução:** Multiplicando ambos os lados por \( (x + 1)(x - 2) \), obtemos \( 3(x - 2) = 
2(x + 1) + (x + 1)(x - 2) \). Resolvendo, encontramos \( x = 1 \). 
 **Resposta:** \( x = 1 \). 
 
52. **Problema:** Fatora completamente a expressão \( x^3 - 8y^3 \). 
 **Resolução:** Utilizando a diferença de cubos, temos \( x^3 - 8y^3 = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 
4y^2) \). 
 **Resposta:** \( (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \). 
 
53. **Problema:** Simplifica a expressão \( \frac{x^4 - 81}{x^2 - 9} \). 
 **Resolução:** Fatorando o numerador e o denominador, temos \( \frac{(x^2 - 9)(x^2 + 
9)}{(x - 3)(x + 3)} \). Cancelando o fator comum \( x^2 - 9 \), obtemos \( x^2 + 9 \). 
 **Resposta:** \( x^2 + 9 \). 
 
54. **Problema:** Resolve a equação \( \sqrt{4x - 3} = 5 \). 
 **Resolução:** Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo, encontramos \( x = 
\frac{28}{4} = 7 \). 
 **Resposta:** \( x = 7 \). 
 
55. **Problema:** Fatora completamente a expressão \( x^4 - 1 \). 
 **Resolução:** Utilizando a diferença de quadrados, temos \( x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) 
= (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) \). 
 **Resposta:** \( (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) \). 
 
56. **Problema:** Simplifica a expressão \( \frac{x^3 - 27}{x^2 - 3x + 9} \). 
 **Resolução:** Fatorando o numerador e o denominador, temos \( \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 
9)}{(x - 3)^2} \). Cancelando o fator comum \( x - 3 \), obtemos \( \frac{x^2 + 3x + 9}{x - 3} \). 
 **Resposta:** \( \frac{x^2 + 3x + 9}{x - 3} \). 
 
57. **Problema:** Resolve a equação \( 3^{2x+1} = 81 \). 
 **Resolução:** Escrevendo 81 como \( 3^4 \), temos \( 3^{2x+1} = 3^4 \). Igualando os 
expoentes, obtemos \( 2x + 1 = 4 \), então \( x = \frac{3}{2} \). 
 **Resposta:** 
 
 \( x = \frac{3}{2} \). 
 
58. **Problema:** Fatora completamente a expressão \( x^3 - 27 \). 
 **Resolução:** Utilizando a diferença de cubos, temos \( x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) 
\). 
 **Resposta:** \( (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \). 
 
59. **Problema:** Simplifica a expressão \( \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \). 
 **Resolução:** Fatorando o numerador e o denominador, temos \( \frac{(x - 1)(x^2 + x + 
1)}{(x - 1)(x + 1)} \). Cancelando o fator comum \( x - 1 \), obtemos \( \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} 
\). 
 **Resposta:** \( \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} \). 
 
60. **Problema:** Resolve a equação \( 2^{x+1} = 32 \).