Cálculos de Cálculo Diferencial e Integral

Prévia do material em texto

**Explicação:** Calculamos a derivada de \( y = \cos(2x) \), encontramos a inclinação 
da reta tangente em \( x = \frac{\pi}{4} \) e, em seguida, usamos o ponto dado para 
encontrar a equação da reta. 
 
538. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( -\sqrt{1 - x^2} + C \). 
 **Explicação:** Utilizamos a substituição trigonométrica \( x = \sin \theta \) para 
resolver a integral. 
 
539. **Problema:** Determine a solução particular da equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = 
3e^x \). 
 **Resposta:** Uma solução particular é \( y_p(x) = xe^x \). 
 **Explicação:** Utilizamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma 
solução particular. 
 
540. **Problema:** Determine o valor de \( \int \sqrt{1 + x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1 + x^2} + \ln \left| x + \sqrt{1 + x^2} 
\right| \right) + C \). 
 **Explicação:** Utilizamos a substituição trigonométrica 
 
 \( x = \sinh t \) para resolver a integral. 
 
541. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = e^x \), o eixo \( x \) 
e as retas \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 
 **Resposta:** A área é \( e^2 - 1 \). 
 **Explicação:** Calculamos a integral definida \( \int_{0}^{2} e^x \, dx \). 
 
542. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = \sin x \). 
 **Resposta:** A solução geral é \( y(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{2}x \cos x \), 
onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação diferencial não homogênea usando o método 
dos coeficientes a determinar. 
 
543. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( -\cot x + C \). 
 **Explicação:** Utilizamos a identidade trigonométrica \( \csc^2 x = 1 + \cot^2 x \) para 
simplificar a integral. 
 
544. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 4x} \). 
 **Resposta:** O limite não existe. 
 **Explicação:** Simplificamos a expressão dentro do limite e observamos que a forma 
indeterminada não é resolvida. 
 
545. **Problema:** Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \sin(2x) \) que seja 
perpendicular à reta \( y = x \). 
 **Resposta:** A equação da reta é \( y = -2x + \frac{\pi}{2} \). 
 **Explicação:** Calculamos a derivada de \( y = \sin(2x) \), encontramos a inclinação da 
reta tangente em \( x = \frac{\pi}{4} \) e, em seguida, usamos a inclinação perpendicular. 
 
546. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( \tan x + C \). 
 **Explicação:** Utilizamos a identidade trigonométrica \( \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \) para 
simplificar a integral. 
 
547. **Problema:** Determine a solução particular da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 
x^3 \). 
 **Resposta:** Uma solução particular é \( y_p(x) = \frac{x^3}{12} \). 
 **Explicação:** Utilizamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma 
solução particular. 
 
548. **Problema:** Determine o valor de \( \int \frac{e^x + 1}{e^x} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( x + e^x + C \). 
 **Explicação:** Simplificamos a expressão dentro do integrando e, em seguida, 
integramos. 
 
549. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = \ln x \), o eixo \( x \) 
e as retas \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 **Resposta:** A área é \( e - 1 \).