Exemplo 7. Dada a função f(x) = 3x^5 - 5x^3. Classifique os pontos críticos de f em pontos de máximos locais, mínimos locais ou de inflexão.

Para classificar os pontos críticos da função \( f(x) = 3x^5 - 5x^3 \) em pontos de máximos locais, mínimos locais ou de inflexão, precisamos encontrar a primeira derivada e os pontos de inflexão. Calculando a primeira derivada de \( f(x) \), temos: \( f'(x) = 15x^4 - 15x^2 \). Para encontrar os pontos críticos, igualamos a primeira derivada a zero e resolvemos a equação: \( 15x^4 - 15x^2 = 0 \). \( 15x^2(x^2 - 1) = 0 \). Isso nos dá \( x = 0 \) e \( x = \pm 1 \) como os pontos críticos. Agora, para determinar a natureza desses pontos, podemos usar o teste da derivada segunda. Calculando a segunda derivada de \( f(x) \), obtemos: \( f''(x) = 60x^3 - 30x \). Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos, temos: \( f''(0) = 0 \) (ponto de inflexão), \( f''(1) = 30 \) (mínimo local), \( f''(-1) = -30 \) (máximo local). Portanto, o ponto \( x = 0 \) é um ponto de inflexão, o ponto \( x = 1 \) é um mínimo local e o ponto \( x = -1 \) é um máximo local.