Derivadas: Conceitos e Regras

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DERIVADA 
Cristianeguedes.pro.br/cefet 
1 Profª Cristiane Guedes 
Reta Tangente 
Como determinar a inclinação da reta tangente a 
curva no ponto ? 
( )y f x ))(,( 00 xfxP
2 
Profª Cristiane Guedes 
 Para responder a essa pergunta consideramos um 
ponto Q(x1, f(x1)) sobre a curva e calculamos a 
inclinação da reta secante PQ. 
3 Profª Cristiane Guedes 
O quociente fornece a inclinação da 
 
reta secante, portanto fazendo o ponto Q se aproximar 
do ponto P ao longo da curva y = f(x) , implica que x1 
se aproxima de x0, isto é 
 
 
 
 
 
Quando esse limite existe, ele fornece a inclinação da 
reta tangente à curva no ponto (x0, f(x0)). 
01
01 )()(
xx
xfxf


x
xfxxf
xx
xfxf
m
xxx
t







)()(
lim
)()(
lim
0
01
01
01
4 Profª Cristiane Guedes 
Velocidade Média 
 Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que S = 
S(t) represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante 
t. Então, no intervalo de tempo entre t e , o corpo sofre 
um deslocamento . 
 Definimos Velocidade Média nesse intervalo de tempo como o 
quociente: 
tt 
)()( tSttSS 
t
tSttS
vm



)()(
5 
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Velocidade Instantânea 
 Para obter a Velocidade Instantânea, calculamos a 
velocidade média em intervalos de tempo 
cada vez menores. Desse modo, temos: 
 
t
t
tSttS
t
S
v
tt
inst







)()(
limlim
00
6 
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Aceleração Instantânea 
 Para obter a Aceleração Instantânea, calculamos a 
aceleração média em intervalos de tempo 
cada vez menores. Desse modo, temos: 
 
t
t
tvttv
t
v
a
tt
inst







)()(
limlim
00
7 
Profª Cristiane Guedes 
Derivada em um ponto 
Profª Cristiane Guedes 
8 
 A derivada de uma função f(x) no ponto x1, denotada por 
f´(x1) é definida pelo limite: 
 
 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)´(
0
Este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva 
y=f(x) no ponto de abscissa x1. 
A Derivada de uma função 
Profª Cristiane Guedes 
9 
 A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por 
f´(x), tal que o seu valor em qualquer ponto do seu domínio é 
dada por 
 
 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)´(
0
Dizemos que uma função é derivável quando existe a 
derivada em todos os pontos de seu domínio. 
, se esse limite existir. 
dx
dy
xfy  )´(´
Exemplos: 
Profª Cristiane Guedes 
10 
 Calcule as seguintes derivadas pela definição: 
 
).´(,
3
2
)()
).2´(,165)() 2
xfencontre
x
x
xfb
fencontrexxxfa




c) Encontre a equação da reta tangente à curva , que 
seja paralela à reta 8x-4y+1=0 
d) Encontre a equação da reta normal à curva y = x2 , no ponto 
P(2, 4). 
xy 
Derivadas laterais 
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11 
 Se a função y = f(x) está definida em x1, então a derivada à 
direita de f em x1 , denotada por f+´(x1) é definida por: 
 
x
xfxxf
xf
x 




)()(
lim)´(
0
 Se a função y = f(x) está definida em x1, então a derivada à 
esquerda de f em x1 , denotada por f-´(x1) é definida por: 
 
x
xfxxf
xf
x 




)()(
lim)´(
0
Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais nesse ponto 
são iguais. 
Profª Cristiane Guedes 12 
Teorema: Toda função derivável num ponto x1 , é contínua nesse 
ponto. 
OBS: A recíproca não é verdadeira. 






02
02
)(:
2
2
xsexx
xsexx
xfEx
Regras de Derivação 
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13 
1 - Derivada de uma função constante 
Se k é uma constante e f(x) = k para todo x, então f’(x) = 0. 
 2 - Derivada de uma função potência 
Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então: 
 f’(x) = n. xn-1 
 Exemplo: Seja f(x) = x5  f’(x) = 5x4. 
 3 - Derivada de uma função multiplicada por k 
Sejam f uma função, k uma constante e g a função definida por 
g(x) = k.f(x), então: 
 g’(x) = k.f’(x). 
 Exemplo: f(x) = 8x2  f’(x) = 8.(2x) = 16x 
Profª Cristiane Guedes 14 
Exemplo – Determinar a equação da reta normal ao gráfico de 
 
f(x) = x2 + 1, no ponto de abscissa 1. 
x0 = 1 
f(1) = 2 
x 
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4 - Derivada da Soma 
 Sejam f e g duas funções e h a função definida por 
 h(x) = f(x) + g(x). 
 A derivada da soma é: h’(x) = f’(x) + g’(x). 
 Exemplo: f(x) = 3x4 + 8x + 5 
 f’(x) = 3.(4x3) + 8.1 + 0 = f’(x) = 12x3 + 8 
5 - Derivada do Produto 
• Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) 
. g(x). A derivada do produto é: 
 h’(x) = f (x) . g’(x) + f’(x).g(x)  y’ = u.v’ + u’.v 
OBS: A derivada do produto não é o produto das derivadas. 
 Exemplo f(x) = (2x3 - 1)(x4 + x2) 
 f’(x) = (2x3 - 1).(4x3 + 2x) + (x4 + x2).6x2 
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6 - Derivada do quociente 
 Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) 
= f(x) / g(x). A derivada do quociente é: 
 
 
 
 
Exemplo: 
35
32
)(
2
4



xx
x
xf 22
432
)35(
)52)(32()04.2).(35(
)('



xx
xxxxx
xf
22
432
)35(
)52)(32()8).(35(
)('



xx
xxxxx
xf
2)]([
)(').()(').(
)('
xg
xgxfxfxg
xh

 2
'.'.
' 
v
vuuv
y


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6 - Derivada da Função Exponencial 
aa
x
a
a
x
aa
x
aaa
x
aa
xfaxf
xx
x
x
x
xx
x
xxx
x
x
xx
x
ln.
)1(
.lim
)1.(
lim
.
limlim)´()(
00
00




















aaxfaxf xx ln.)´()( 
xx exfexf  )´()(
Exercícios 
Profª Cristiane Guedes 
18 
x
x
exxfe
x
xx
xfd
x
xxfc
exxfb
xxxfa
.)()
34
)()
1
)()
.2)()
43)()
2
2
2
2






f) Encontre a equação da reta tangente à curva no 
ponto (1, e/2). 21 x
e
y
x


Derivada das funções trigonométricas 
Profª Cristiane Guedes 
19 
)(cot).sec(cos)´()sec(cos)(
)().sec()´()sec()(
)(seccos)´()(cot)(
)(sec)´()()(
)()´()cos()(
)cos()´()()(
2
2
xgxxfxxf
xtgxxfxxf
xxfxgxf
xxfxtgxf
xsenxfxxf
xxfxsenxf






Exercícios 
Profª Cristiane Guedes 
20 
1) Encontre a equação da reta tangente à curva 
 no ponto (π/3, 1). 
2) Que valores de x fazem com que o gráfico de f(x)= x 
+ 2. sen(x) tenha uma tangente horizontal? 
3) Encontre os pontos da curva que possuem 
tangente horizontal. 
xxxf cos2sec)( 
senx
x
y


2
cos
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4) Uma escada com 10 m de comprimento está apoiada em 
uma parede vertical. Seja o ângulo entre o topo da 
escada e a parede e x a distância da base da escada até a 
parede. Se a base da escada escorregar para longe da 
parede, com que rapidez x vai variar em relação a 
 quando ? 


3

 
Derivada das Funções Compostas 
Regra da Cadeia 
Profª Cristiane Guedes 
22 
 Exemplo 
 Calcule a derivada de h(x)= (2x + 1)10. 
 
A função h(x) é composta, f(x) = x10 e g(x) = 2x + 1. 
Pela regra da cadeia, temos 
h’(x) = f‘(g(x)) . g’(x) = 10.(2x + 1)9.2 = 20(2x + 1)9 
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função 
composta f(g(x)) é dada por: 
 [f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x) 
Exercícios 
Profª Cristiane Guedes 
23 
a) 
b) 
c) 
8)32(  xy
d) 
 
e) 
 
f) 
 522 axy 
 331 xy 
3









xa
xa
y
x
x
y



1
1
 22 32  xy
Profª Cristiane Guedes 24 
2
2
)3sec(
)(
3
3
)12(
)5(cot
)()
)8()()
)cos()()
)()
)()
))(()()
)()()
2








x
xg
xxfm
xtgxfl
exfk
exfj
exfi
xsenxfh
xsenxfg
x
x
xsen
Derivada da Função Inversa 
Profª Cristiane Guedes 
25 
Seja f inversível e derivável no número a = f-1 (b), com 
f´(a)≠0. Então a sua função inversa f-1 é derivável em b, com 
)´(
1
))(´(
1
))´((
1
1
afbff
bf 


Exemplo: Considere a função f(x)=3x2 + x –1 na vizinhança 
do ponto x = 2. Calcule a derivada da função inversa de f 
no ponto b = f(2) = 13. 
x
xfxxf
ax
xfxxf a
1
)()ln()(
)ln(.
1
)()(log)(
´
´


Derivada das Funções Logarítmicas 
Profª Cristiane Guedes 
26 
)ln(.
1
)ln(.
1
))(´(log
1
))(´(
1
))´((
)(log)()(
)(log1
1
1
ax
aaxfxff
xf
xxfaxf
x
a
a
x
a






Exercícios 
Profª Cristiane Guedes 
27 
xxyf
x
xx
ye
xyd
xsenxfc
xxfb
xsenxfa








)
)23(
1
)
ln)
))(2(log)()
)1ln()()
))(ln()()
5
24/3
10
3
Derivadas Sucessivas 
Profª Cristiane Guedes 
28 
No estudo de máximos e mínimos, vamos precisar não apenas 
da derivada de uma função, mas de suas demais derivadas 
(das derivadas das derivadas). 
A derivada de uma função f é chamada de primeira derivada 
de f e é denotada por f’. A derivada de f´ é chamada de 
segunda derivada de f e é denotada por f’’. A derivada de f´´ 
é chamada da terceira derivada de f, e é denotada por f’’’; e 
assim sucessivamente. 
DERIVADAS DE ORDENS SUPERIORES 
A derivada de uma função f(x) é também uma função de x. 
conseqüentemente, podemos calcular a sua derivada. Teremos a 
derivada segunda da função. 
2
2
( )
( ) ( )
x
y f x
dy
f
dx
d dy d y
f x
dx dx dx


 
Generalizando, podemos calcular a n-ésima derivada de uma função 
( )
( )
( )
n
n
n
y f x
d y
f x
dx


29 
Profª Cristiane Guedes 
Exemplos: 
A derivada segunda da função y=senx é: 
2
2
cos
y senx
dy
x
dx
d y
senx
dx


 
A derivada segunda da função y=e2x é: 
2
2
2
2
2
2
4
x
x
x
y e
dy
e
dx
d y
e
dx



30 Profª Cristiane Guedes 
Exercícios 
Profª Cristiane Guedes 
31 
Encontre todas as derivadas das funções 
abaixo: 
 
)ln()()
)()()
)()
3)()
2
23
xxfd
xsenxfc
exfb
xxxfa
x




Taxas Relacionadas 
Profª Cristiane Guedes 
32 
1) Está sendo bombeado ar para dentro de um balão 
esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 
cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo 
quando o diâmetro é 80 cm? 
2) Um tanque de água tem a forma de um cone 
circular reto invertido, com base de r = 2m e h = 4m. 
Se a água está sendo bombeada para dentro do 
tanque a uma taxa de 2m3/min, encontre a taxa de 
variação do nível da água, quando a água estiver a 
3m de profundidade. 
Derivação Implícita 
Profª Cristiane Guedes 
33 
Dada uma equação envolvendo as variáveis x e y, muitas vezes 
não conseguimos isolar o y. Quando isso acontece, dizemos que y 
é uma função implícita de x. 
Por exemplo: x2.y + y2 . x = 2xy 
Para calcular a derivada de uma função na forma implícita temos 
que derivar os dois membros da equação em relação a x (para 
encontrar dy/dx), não esquecendo de usar a Regra da Cadeia 
para derivar os termos que contêm y, já que y é função de x. 
Exercícios 
Profª Cristiane Guedes 
34 
1) Encontre dy/dx: 
222) ayxa 
053) 33  xyxyb
2) Encontre a equação da reta tangente e da reta normal 
à curva no ponto (1, 1) . 
53 22  yyxx
yx
yx
yc


3)
Máximos e Mínimos 
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35 
Considere a função y = f(x) e suponha que x1 é um ponto do domínio de f. 
),x(f)x(f 1
I – O ponto x1 é um ponto de máximo local (ou relativo) da função f se existe 
 um intervalo aberto  contendo x1 , tal que ).f(Dx para todo 
),x(f)x(f 1 
II – O ponto x1 é um ponto de mínimo local(ou relativo) da função f se existe 
 um intervalo aberto  contendo x1 , tal que ).f(Dx para todo 
f 
Exemplos: 
x = 0 , 
).x(f)0(f 
Daí, x = 0 é ponto de mínimo local. 
x = 3 , 
).3(f)x(f 
Daí, x = 3 é ponto de máximo local. 
Profª Cristiane Guedes 36 
x = 13 , ),13(f)x(f  daí, x = 13 é ponto de máximo local. 
x = 15 , 
),x(f)15(f 
daí, x = 15 é ponto de mínimo local. 
x = 6 , 
).x(f)6(f 
Daí, x = 6 é ponto de mínimo local. 
f 
Exemplos: 
Se x1 é um ponto de mínimo local 
dizemos que f(x1) é um valor de mínimo 
da função f . 
Se x1 é um ponto de máximo local 
dizemos que f(x1) é um valor de máximo 
da função f . 
Valores de mínimo da função f: -6 e 3. 
Valores de máximo da função f: 3 e 6. 
),x(f)x(f 1
III - Diz-se que x1 é um ponto de máximo global (ou absoluto) da função f se 
).f(Dxpara todo 
),x(f)x(f 1 
IV - Diz-se que x1 é um ponto de mínimo global (ou absoluto) da função f se 
).f(Dxpara todo 
Observe que a função f não possui ponto de máximo global. 
Os pontos de mínimos globais da função f são: x = 0 e x = 6 
Profª Cristiane Guedes 37 
Exemplo 3 - Encontrando Extremos Absolutos 
Função Domínio D Extremos Absolutos em D 
(a) 
2y x ( , ) 
Ausência de máximo absoluto. 
Mínimo absoluto 0 quando x = 0. 
(b) 
2y x
[0, 2]
Máximo absoluto 4 quando x = 2. 
Mínimo absoluto 0 quando x = 0. 
(c) 
2y x
(0, 2]
Máximo absoluto 4 quando x = 2. 
Ausência de mínimo absoluto. 
(d) 
2y x
(0, 2)
Ausência de extremos absolutos. 
Teorema do Valor Extremo para 
Funções Contínuas 
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38 
 Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f 
assume tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I. 
Ou seja, há números x1 e x2 em I tais que f (x1) = m e f (x2) = M e 
m f(x) M para qualquer outro valor de x em I. (Figura abaixo) 

Profª Cristiane Guedes 39 
Teorema de Extremos Locais 
Profª Cristiane Guedes 
40 
 Se uma função f possui valores máximo ou mínimo locais 
em um ponto c interior de seu domínio e se f ’ existe em c, 
então 
f’ (c) = 0 
OBS: A recíproca desse Teorema não é verdadeira, ou seja, o 
fato da derivada em c ser zero, não implica necessariamente em 
c ser um extremo local. 
Ponto Crítico 
Profª Cristiane Guedes 
41 
 Um ponto de uma função f onde f ’ = 0 ou f ’ não 
existe é um ponto crítico de f. 
 
Os pontos críticos são os “candidatos” a extremos 
locais de uma função. 
Função Crescente / Função Decrescente 
Profª Cristiane Guedes 
42 
Seja f uma função definida em um intervalo I. Então, 
1. f é crescente em I se, para todos os pontos x1 
 e x2 em I, 
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x  
2. f é decrescente em I se, para todos os pontos x1 
 e x2em I, 
1 2 2 1( ) ( )x x f x f x  
Teste da Primeira Derivada (Crescimento) 
Profª Cristiane Guedes 
43 
Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b): 
Se f ’> 0 em todos os pontos de (a, b), então f é crescente 
em [a, b]. 
Se f ’< 0 em todos os pontos de (a, b), então f é decrescente 
em [a, b]. 
Teste da 1ª Derivada para Extremos Locais 
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44 
1. Se f ’ é negativa à esquerda de c e positiva à direita 
de c, então f possui um mínimo local em c. 
2. Se f ’ é positiva à esquerda de c e negativa à direita 
de c, então f possui um máximo local em c. 
3. Se f ’ possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, 
então c não é um extremo local de f. 
Exemplos 
Profª Cristiane Guedes 
45 
Exemplo 1 - 
 Determine os valores máximo e mínimo absolutos e 
relativos de: 
 f (x) = 10x(2 - ln x) no intervalo [1, e2]. 
Profª Cristiane Guedes 46 
Exemplo 2 - 
Determine os valores extremos de 
2
1
( )
4
f x
x


Teorema de Rolle 
Profª Cristiane Guedes 
47 
 Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a, b] e 
derivável em todos os pontos de (a, b). Se 
( ) ( ) 0f a f b 
Então há pelo menos um número c em (a, b) onde f’(c) = 0. 
O Teorema de Rolle diz que 
uma curva derivável tem ao 
menos uma tangente 
horizontal entre dois pontos 
quaisquer onde a curva cruza 
o eixo x. Essa curva tem três. 
Teorema do Valor Médio 
Profª Cristiane Guedes 
48 
 Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado 
[a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b). Então há pelo 
menos um ponto c em (a, b) em que 
( ) ( )
'( )
f b f a
f c
b a



Geometricamente, 
o Teorema do Valor 
Médio diz que, em 
algum lugar entre A 
e B, a curva apresenta 
pelo menos uma 
tangente paralela à 
corda AB. 
Estudo da Concavidade 
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49 
O gráfico de f (x) = x3 é côncavo para baixo em 
x<0 e e côncavo para cima em x>0 
Profª Cristiane Guedes 50 
O gráfico de uma função derivável y = f (x) é 
(a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, 
 se y’ é crescente em I f’’(x)>0 
(b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, 
 se y’ é decrescente em I f ’’(x)<0 
 Um ponto onde o gráfico de uma função muda de 
concavidade é um Ponto de Inflexão. (f ’’(x)=0 ou f ’’(x) não 
existe) 
Teste da 2ª Derivada para Extremos Locais 
Profª Cristiane Guedes 
51 
Teorema 5 - O Teste da Segunda Derivada para 
Extremos Locais 
1. Se f ’ (c) = 0 e f ’’(c) < 0, então f possui um 
máximo local quando x = c. 
2. Se f ’(c) = 0 e f ’’(c) > 0, então f possui um 
mínimo local quando x = c. 
Exemplo: Determine os extremos de f (x) = x3 - 12x - 5. 
Problemas de Maximização e Minimização 
Profª Cristiane Guedes 
52 
Exemplo1 - Um retângulo deve ser inscrito em uma 
semicircunferência de raio 2. Qual é a maior área que o 
retângulo pode ter e quais são suas dimensões? 
Resp: área máxima = 2 , dimensões: 
222
Exemplo2 - A potência de uma bateria é dada 
e P em watts. Determine a corrente i em que ocorre a 
potência máxima. Qual o valor da potência para essa 
corrente Resp: 10A e 500W 
 
,i5i100P 2
Profª Cristiane Guedes 53 
Exemplo3: O custo de construção de um edifício de 
escritórios de x pavimentos (andares) é dado, em milhões 
de reais, por: 
.x16x5001600y 2
Se o custo médio por pavimento é 
,
x
y
Cmédio 
encontre o valor mínimo do custo médio por pavimento. 
Resp: 820 milhões de reais. 
 Exemplo 4: O preço de um produto no mercado, em função 
do tempo decorrido após o seu lançamento é dado por : 
9t5t3
3
t
)t(P 2
3

(t em meses e P em reais). 
Determine em que momento esse produto obteve os 
valores máximo e mínimo, em 8 meses no mercado. 
Resp: máx em 8 meses e mín em 5 meses 
Profª Cristiane Guedes 54 
9t5t3
3
t
)t(P 2
3

]8,0[
Regra de L’Hospital 
Profª Cristiane Guedes 
55 
 Regra de L’Hôpital 
 Indeterminação da forma ou 
 Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I em 
torno de um ponto a, exceto possivelmente no ponto a. 
Suponha que g(x)  0 para x  a I, x  a: 
 Se e 
 
 então: 
,0)(lim 

xf
ax
0)(lim 

xg
ax ,
)('
)('
lim L
xg
xf
ax


,
)(
)(
lim L
xg
xf
ax


0
0


Profª Cristiane Guedes 56 



 1
1
lim)
8
9
1 x
x
a
x
Exemplos: 
 Se 
 
e então: 
),()(lim 

ouxf
ax
,
)('
)('
lim L
xg
xf
ax


,
)(
)(
lim L
xg
xf
ax


),()(lim 

ouxg
ax

 x
x
b
x
ln
lim)
OBS: Quando tivermos indeterminações do tipo 
temos que manipular a expressão para chegar em 0/0 ou ∞/∞, para 
aplicar L’Hospital. 
 ,.0,1
Profª Cristiane Guedes 57 
Exemplos: 
4/3:Re
4
1
1lim)
3
sp
x
a
x
x








0:Re
)1.(lim) 23
sp
exb x
x
 

2/1:Re
)(lim) 2
sp
xxxc
x

