Frações, Números Decimais e Equações

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MATEMÁTICA
e suas tecnologias
MATEMÁTICA
BÁSICA
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FRAÇÕES, NÚMEROS DECIMAIS E EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Frações
Do que você não pode se esquecer
Dentro de uma fração A __ 
B
 , temos os seguintes componentes:
 A é chamado de numerador e pode ser qualquer número natural; e
 B é chamado de denominador e pode ser qualquer número natural diferente de zero.
Operações com frações
 Adição e subtração
1º caso – Com denominadores iguais: para adicionar ou subtrair frações com mesmo denominador, deve-
mos adicionar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador.
 7 __ 
8
 – 3 __ 
8
 = 7 – 3 ____ 
8
 = 5 __ 
8
 
2º caso – Com denominadores diferentes: é preciso “calcular” um denominador comum por meio do 
mínimo múltiplo comum (mmc). Para realizar isso, devemos, primeiramente, inserir o conceito de fatoração 
e de mmc.
Fatoração: A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do disposi-
tivo prático, que será mostrado nos exemplos a seguir.
a) 30 = 2 · 3 · 5 
30 2
15 3
5 5
1 2 · 3 · 5 fatoração
b) 45 = 32 · 5
45 3
15 3
5 5
1 32 · 5 fatoração 
Observação: Número primo é um número que possui apenas dois divisores – ele próprio e o número 1.
 1 __ 
4
 + 2 __ 
3
 – 3 __ 
5
 = 15 + 40 – 36 __________ 
60
 = 19 ___ 
60
 
Perceba, no exemplo acima, que não podemos simplificar a fração, logo, dizemos que ela é irredutível.
 Multiplicação
Para realizar essa operação, deve-se multiplicar em linha. Veja nos exemplos abaixo:
 ( –4 ___ 5 ) × ( –3 ___ 2 ) = (–4) × (–3) _________ 5 × 2 = 12 ___ 10 = 6 __ 5 ( 3 __ 7 ) × ( –9 ___ 5 ) = (3) × (– 9) _________ 7 × 5 = – 27 ___ 35 
 4 __ 
6
 × 2 __ 
3
 = 4 × 2 _____ 
6 × 3
 = 8 ___ 
18
 = 4 __ 
9
 
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 Divisão
Para realizar essa operação, deve-se manter/copiar a primeira fração e multiplicá-la pela segunda fração 
invertida (numerador troca com denominador). Veja nos exemplos a seguir:
 5 __ 
4
 / 7 __ 
3
 = 5 __ 
4
 × 3 __ 
7
 5 × 3 _____ 
4 × 7
 = 15 ___ 
28
 
 
– 5 __ 
3
 
 ___ 
– 2 __ 
9
 
 = ( – 5 __ 3 ) × ( – 9 __ 2 ) = + 45 ___ 6 = 15 ___ 2 
Números decimais
Operações
 Adição e subtração: deve-se, primeiramente, alinhar as vírgulas dentro da adição ou da subtração. Veja 
abaixo:
+ 
 1,025 
12,256
 
 ______ 
13,281
 
 Multiplicação: deve ser feita desconsiderando as casas decimais e, após o resultado, inserir a quantidade 
de casas decimais do multiplicando e do multiplicador.
 
 0,015 
× 2,5
 
 ______ 
0,0375
 Veja que 0,015 possui 3 casas decimais e 2,5 possui 1 casa decimal, portanto, o produto deve possuir 3 + 1 = 4 casas decimais.
 Divisão: deve-se multiplicar o divisor e o dividendo por alguma potência de 10, a fim de eliminar as casas 
decimais e, então, realizar a divisão normalmente com os números inteiros.
Decimais exatos
Podemos transformar números decimais, desde que não sejam irracionais, em frações, da seguinte forma:
a) 0,25 = 0,25 × 100 ____ 
100
 = 25 ____ 
100
 = 1 __ 
4
 b) 0,75 = 0,75 × 100 ____ 
100
 = 75 ____ 
100
 = 3 __ 
4
 
c) 4,5 = 4,5 × 10 __ 
10
 = 45 ___ 
10
 = 9 __ 
2
 d) 0,625 = 0,625 × 1000 _____ 
1000
 = 625 _____ 
1000
 = 5 __ 
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Decimais infinitos com dízimas periódicas
Dízima periódica ou, simplesmente, dízima é a representação decimal aproximada de um número fracio-
nário, no qual um ou mais algarismos se repetem indefinidamente a partir de certa ordem decimal. A fração que dá 
origem a uma dízima periódica é chamada de geratriz.
Veja como proceder para encontrar a fração geratriz de uma dízima:
a) Determine a fração geratriz de 0,777...
1º passo: Chame a dízima de uma incógnita qualquer, por exemplo, de “x”.
x = 0,777... (equação 1)
2º passo: Multiplique ambos os lados da equação com uma base 10, de modo que o período (7) esteja 
depois da vírgula.
10x = 7,777... (equação 2)
3º passo: Realize a subtração da equação 2 pela equação 1.
Assim, a fração geratriz da dízima 0,777... é 7 __ 
9
 .
b) Determine a fração geratriz de 3,141414...
1º passo: x = 3,141414... (equação 1)
2º passo: 100x = 314,141414... (equação 2)
3º passo: Realize a subtração da equação 2 pela equação 1.
Assim, a fração geratriz da dízima 3,141414... é 311 ___ 
99
 .
Equações do primeiro grau
Linguagem
Uma sentença matemática apresenta incógnitas (x, y, z, w, j,...) e coeficientes (1, –3, ,...) que acompanharão 
a primeira. Veja nos exemplos abaixo:
3x + 4(5x – 2) = 0 4y + (–7y) – 4(2 – y) = 0
6a – 8 + 12 (5 – a) = –3 6z + (5 – y) 3 = 4
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Observação: Não confunda sentença matemática com expressão algébrica. Uma sentença matemática 
sempre deve estar junta de um sinal de igualdade ou inequação. Já uma expressão algébrica não possui esse sinal.
Expressão algébrica Sentença matemática
3x2 + 4 yx + 5 z ax2 + bx + c = 0
Membros
Sempre possuímos 2 membros numa equação. Veja no exemplo abaixo:
7x + 4 (x – 3) = 3x + 9 (3 – x).
7x + 4 (x – 3). 3x + 9 (3 – x)
Membro da esquerda Membro da direita
Termos
Dentro de uma equação, estarão separados por um símbolo de ( + ) ou de ( – ). Dizemos que os termos são 
aditivos. Veja no exemplo abaixo:
Equação 7x + 4(x – 3) = 3x + 9(3 – x)
Membros Esquerda Direita
Termos 7x e (4x – 3) 3x e 9(3 – x)
Fatores
Dentro de uma equação, são aqueles que multiplicam dentro de um único termo. Dizemos que os fatores 
são multiplicativos. Veja no exemplo abaixo:
Equação 7x + 4(x – 3) = 3x + 9(3 – x)
Membros
Esquerda Direita
Fatores Fatores
7x 7 e x 3 e x 3x
4x 4 e x 9 e 3 27
–12 4 e –3 9 e –x –9x
Solução ou raiz
É um número que, ao ser colocado no lugar da variável, torna a sentença verdadeira. Veja como realizamos isso:
3x + 4(5x – 2) = 15 sentença matemática
Ao colocarx = 0, temos:
3 · 0 + 4(5 · 0 – 2) = 15 –8 = 15 (falsa)
Como –8 não é igual a 15, compreendemos que, quando x = 0, a sentença retorna a um valor falso. Assim, 
x = 0 não é solução dessa sentença matemática.
Ao colocar x = 1, temos:
3 · 1 + 4(5 · 1 – 2) = 15 15 = 15 (verdadeira)
Logo, x = 1 é uma raiz ou solução dessa sentença.
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Resolução de uma sentença matemática do primeiro grau
Toda equação do tipo a · x + b = 0 é uma equação do primeiro grau, onde a e b são coeficientes e x é a 
variável, sendo que a ≠ 0.
Podemos associar uma balança de pratos 
a uma equação matemática. O equilíbrio da ba-
lança é alcançado quando o conteúdo dos dois 
lados é o mesmo. 
Vamos resolver, agora, algumas equações:
Exemplo 1: 3x + 4(5x – 2) = 15
1º passo: Fazer a distributiva.
3x + 20x – 8 = 15
2º passo: Reunir os membros semelhantes, de modo a simplificar essa equação.
23x – 8 = 15
3º passo: Passar o que não tem x para o outro membro compensando o valor (princípio da balança).
23x – 8 + 8 = 15 + 8 23x = 23
4º passo: Dividir toda a equação pelo fator que está multiplicando o x.
23x = 23 (÷23)
 23x ___ 
23
 = 23 ___ 
23
 x = 1
Descrevemos a solução do problema da seguinte forma:
S = {1}
Observação: Sempre que houver uma divisão ou multiplicação com sinais, utilize a seguinte tabela. 
Sinal Sinal Resultado Sinal Sinal Resultado
+ + + – – +
+ – – – + –
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APLICANDO PARA APRENDER (A.P.A.)
 1. Resolva:
a) ( 1 __ 3 + 2 __ 4 ) : 1 __ 2 
b) 
1 + 1 __ 3 _____ 3 
c) 
d) ( 1 __ 2 + 1 __ 3 + 1 __ 4 ________ 2 __ 3 + 3 __ 4 ) : ( 9 ___ 17 + 1 ) 
 2. Realize as seguintes operações:
a) 4,32 + 2,3 + 1,429
b) 7,32 × 12,5
c) 32,4 – 21,3
d) (0,2 × 0,3)/(3,2 – 2)
e) 4,03 + 200 + 51,2
f) 48 – 33,45
 3. Determine a fração geratriz de cada número 
decimal abaixo.
a) 0,525252...
b) 0,666...
c) 0,32444...
d) 0,643777...
e) 34,212121...
 4. A soma das idades de Carlos e Mário é 40 
anos. A idade de Carlos é três quintos da ida-
de de Mário. Qual a idade de Mário?
 5. Um executivo distribui seus vencimen-
tos mensais da seguinte maneira: 1/8 para 
o plano de saúde; 1/4 para a poupança; 
1/6 para a alimentação e a moradia; e os 
R$ 6.600,00 restantes para o lazer. Quanto o 
executivo poupa mensalmente?
 6. Calcule:
a) 5 __ 3 + 
1 __ 3 
b) 4 __ 5 + 
2 __ 5 
c) 1 __ 7 + 
3 __ 7 
d) 17 ___ 3 – 
2 __ 3 
e) 21 ___ 19 – 
2 ___ 19 
 7. Calcule as adições e subtrações de frações.
a) 5 __ 2 + 
3 __ 4 
b) 3 __ 2 + 
7 __ 3 
c) 6 __ 8 + 
3 __ 2 
d) 9 __ 3 + 
1 __ 4 
e) 12 ___ 6 – 
3 __ 8 =
f) 6 __ 5 – 
2 __ 3 – 
1 __ 3 
g) 7 __ 3 + 
3 __ 4 – 
2 __ 4 
h) 6 __ 7 – 
1 __ 3 + 
4 __ 3 
i) 4 __ 3 – 
1 __ 6 
j) 7 __ 4 – 
8 __ 9 
k) 10 ___ 5 – 
3 __ 6 
l) 2 __ 3 + 
3 __ 4 + 
2 __ 6 
m) 5 __ 4 + 
2 __ 6 + 
4 __ 5 
n) 10 ___ 3 + 
1 __ 5 – 
2 __ 3 
o) 7 __ 5 + 
2 __ 3 – 
1 __ 3 
p) 18 ___ 7 + 
1 __ 3 – 
3 __ 5 
 8. Calcule:
a) 3 __ 4 × 
1 __ 2 
b) 1 __ 8 × 
3 __ 4 
c) 2 __ 7 × 
7 __ 5 
d) 1 __ 5 × 
8 __ 3 
e) 4 __ 3 × 
1 __ 5 
f) 3 __ 5 × 
2 __ 4 
g) 2 __ 3 × 
1 __ 8 
h) 7 __ 5 × 
10 ___ 14 
i) 8 __ 5 × 
5 __ 8 
j) 7 __ 3 × 
2 __ 7 
k) 9 __ 8 × 
3 __ 2 
l) 4 ___ 10 × 
5 __ 2 
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 9. Calcule:
a) 4 __ 3 
5 __ 7 
b) 3 __ 5 11
c) 3 2 __ 7 
d) 2 __ 3 
4 __ 5 
e) 3 __ 8 1
f) 4 __ 9 
1 __ 2 
g) 2 __ 5 
5 __ 7 
h) 1 __ 2 
11 ___ 15 
i) 2 __ 9 
3 __ 9 
j) 8 __ 3 4
k) 4 __ 5 8
l) 9 ___ 16 
3 __ 4 
m) 11 ___ 4 
5 __ 2 
n) 7 __ 3 
9 __ 2 
o) 5 __ 6 
5 __ 4 
p) 17 ___ 5 
5 __ 3 
 10. Realize as seguintes operações de soma e 
subtração:
a) 12,5 + 0,6
b) 5,1 + 0,01
c) 10,005 – 0,001
d) 5 – 0,001
e) 4,25 + 3,74
f) 7,1 – 0,05
g) 40,50 – 1,8
h) 10,1 – 5,61
i) 0,02 – 0,005
 11. Calcule os seguintes produtos:
a) 50 × 12,5
b) 12 × 0,5
c) 16 × 20,5
d) 10,4 × 1,5
e) 0,25 × 5,5
f) 0,10 × 0,10
g) 512 × 9,05
 12. Efetue as operações de divisão.
a) 20 ÷ 0,5
b) 15 ÷ 1,5
c) 12 ÷ 2,4
d) 0,8 ÷ 20
e) 0,12 ÷ 3
f) 0,0024 ÷ 8
g) 18,3 ÷ 1,2
h) 12,5 ÷ 2,5
i) 6,25 ÷ 0,125
 13. Transforme os seguintes decimais em frações 
irredutíveis:
a) 0,5
b) 0,75
c) 1,25
d) 4,5
e) 5,5
f) 10,1
g) 2,5
h) 6,25
i) 0,001
j) 0,0005
k) 0,0012
l) 0,008
 14. Transforme as seguintes dízimas periódicas 
em frações irredutíveis:
a) 0,3333...
b) 2,3333...
c) 0,5555...
d) 1,4444...
e) 1,252525...
f) 2,101010...
g) 0,03333...
h) 0,0121212...
i) 1,5101010...
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ANOTAÇÕES
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