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- Problema: Utilize o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz da equação \( 
f(x) = e^x - 2x \). 
 Resolução: A raiz aproximada é \( x \approx 0.3517 \). 
 
19. **Geometria Espacial** 
 - Problema: Calcule o volume de um cubo cuja aresta mede 5 cm. 
 Resolução: Volume \( = 125 \) cm³. 
 
20. **Equações Diferenciais de Segunda Ordem** 
 - Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 Resolução: \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 
21. **Análise de Fourier** 
 - Problema: Expanda a função \( f(x) = x^2 \) em uma série de Fourier seno. 
 Resolução: \( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{n+1}}{n^2} \sin(nx) \), para \( 0 < x < 
\pi \). 
 
22. **Matemática Discreta** 
 - Problema: Quantos subconjuntos distintos podem ser formados a partir de um 
conjunto com 4 elementos? 
 Resolução: Existem \( 2^4 = 16 \) subconjuntos distintos. 
 
23. **Transformações Lineares** 
 - Problema: Seja \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) uma transformação linear dada 
por \( T(x, y, z) = (2x - y, x + z) \). Determine a matriz associada a \( T \). 
 Resolução: A matriz associada é \( \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} 
\). 
 
24. **Teorema de Bayes** 
 - Problema: Em um teste para detectar uma doença, sabe-se que a probabilidade de um 
resultado positivo ser verdadeiro é 0.95, e a probabilidade de uma pessoa estar doente é 
0.03. Qual é a probabilidade de uma pessoa estar doente dado que o resultado do teste 
foi positivo? 
 Resolução: \( P(\text{doente | positivo}) = \frac{P(\text{positivo | doente}) \cdot 
P(\text{doente})}{P(\text{positivo})} \). 
 
25. **Equações Diferenciais Parciais Estocásticas** 
 - Problema: Resolva a equação de difusão unidimensional estocástica \( \frac{\partial 
u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \xi(x, t) \), onde 
 
 \( \xi(x, t) \) é um ruído branco. 
 Resolução: \( u(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x - x', t) u_0(x') \, dx' \), usando a função de 
Green \( G(x, t) \). 
 
26. **Análise Complexa Avançada** 
 - Problema: Calcule a integral \( \int_{C} \frac{e^z}{z^2 + 1} \, dz \), onde \( C \) é o círculo 
\( |z| = 2 \). 
 Resolução: \( \int_{C} \frac{e^z}{z^2 + 1} \, dz = 2\pi i e^{-i} = 2\pi i \left(\cos(1) - 
i\sin(1)\right) \). 
 
27. **Métodos Iterativos** 
 - Problema: Use o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema linear \( 
\begin{cases} 4x - y = 2 \\ x + 2y = 4 \end{cases} \) com aproximação inicial \( (x_0, y_0) = (0, 
0) \). 
 Resolução: A solução aproximada é \( (x, y) \approx (1.4, 1.6) \). 
 
28. **Estatística Multivariada** 
 - Problema: Se \( X \) e \( Y \) são variáveis aleatórias independentes com distribuição 
normal padrão, qual é a distribuição de \( X + Y \)? 
 Resolução: \( X + Y \sim \mathcal{N}(0, 2) \). 
 
29. **Métodos Numéricos em Engenharia II** 
 - Problema: Use o método de Euler implícito para resolver numericamente a equação 
diferencial \( \frac{dy}{dt} = -y \) com condição inicial \( y(0) = 1 \) para \( t \in [0, 2] \) com \( 
\Delta t = 0.1 \). 
 Resolução: Os valores aproximados são \( y(0.1) \approx 0.9091 \), \( y(0.2) \approx 
0.8264 \), etc.