Use o teorema de Green para resolver a integral ∮C y3 dx − x3 dy, onde C é o círculo de raio 2 centrado na origem e orientado positivamente. A. ...

Para resolver essa integral utilizando o Teorema de Green, primeiro precisamos parametrizar a curva C, que é o círculo de raio 2 centrado na origem e orientado positivamente. Uma parametrização comum para um círculo de raio 2 é x = 2cos(t) e y = 2sen(t), com t variando de 0 a 2π. Em seguida, calculamos as derivadas parciais de y³ em relação a x e de -x³ em relação a y. Temos: ∂(y³)/∂x = 0 ∂(-x³)/∂y = -3x² Aplicando o Teorema de Green, a integral dada se transforma em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva C. Como as derivadas parciais não dependem de y ou x, a integral se torna: ∬R (-3x² - 0) dA, onde R é a região delimitada por C. Integrando em relação a x e y sobre a região R, obtemos: ∫∫R -3x² dA = -3 ∫∫R x² dA Como a região R é um círculo de raio 2, podemos usar coordenadas polares para simplificar a integral. A integral se torna: -3 ∫[0,2π] ∫[0,2] (r² cos²(θ)) r dr dθ Resolvendo essa integral, obtemos o resultado final. Vamos analisar as opções: A. 24π B. 12π C. π D. -12π E. -24π Após os cálculos, a resposta correta é: D. -12π