Atividade 04

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Funções Reais de uma Variável Real
Cálculo Diferencial e Integral I
F́ısica EaD
Marcos Roberto Teixeira Primo
Universidade Estadual de Maringá
Quarta Atividade
Marcos Roberto Teixeira Primo Cálculo Diferencial e Integral I F́ısica EaD
Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
1. Funções Reais de uma Variável Real.
O principal objetivo deste caṕıtulo é introduzir o conceito de funções
reais de uma variável real e estudar algumas de suas principais
propriedades.
Exerćıcios.
Neste arquivo estão os exerćıcios sobre o conteúdo da quarta semana
que devem ser resolvidos e entregue até segunda-feira, 31/07/2023. Este
exerćıcios serão resolvidos na webaula de 01/08/2023.
Marcos Roberto Teixeira Primo Cálculo Diferencial e Integral I F́ısica EaD
Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
1.o Exerćıcio. Mostre,usando a definição, que
lim
x→3
(−2x + 5) = −1
e imponha condições para que a definição dada por você seja válida para
ε = 0, 08.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Solução: Dado ε > 0, vamos encontrar δ > 0 que satisfaz a definição de limite
para f , isto é, devemos encontrar δ > 0 tal que
x ∈ D(f ) e 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε
. Neste caso temos que
f (x) = −2x + 5, L = −1 e a = 3.
Devemos ter então que
x ∈ D(f ) e 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε
⇐⇒ |(−2x + 5)− (−1)| < ε
⇐⇒ | − 2x + 5 + 1| < ε
⇐⇒ | − 2(x − 3)| < ε
⇐⇒ 2|x − 3| < ε.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Logo, dado ε > 0, tomando δ ≤ ε
2
teremos que
x ∈ D(f ) e 0 < |x − 3| < δ =
ε
2
=⇒ |(−2x + 5)− (−1)| = 2|x − 3|
< 2δ = 2
ε
2
= ε,
ou seja,
x ∈ D(f ) e 0 < |x − 3| < δ =
ε
2
=⇒ |(−2x + 5)− (−1)| < ε.
Assim, provamos que
lim
x→3
−2x + 5 = −1.
Para que a definição seja válida para ε = 0, 08, devemos tomar
δ =
ε
2
=
0, 08
2
= 0, 04,
completando este item. �
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
2.o Exerćıcio. Calcule os limites, indicando todo o processo.
1 lim
x→2
2x3 + x2 − 8x − 4
4x − x3
;
2 lim
x→4+
x2 − 16
|4− x | ;
3 lim
x→4−
x2 − 16
|4− x | ;
4 lim
x→4
x2 − 16
|4− x | ;
5 lim
x→1
x2 + x − 2
x − x2
.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Solução: Para o item (1), observemos primeiro que
lim
x→2
2x3 + x2 − 8x − 4 = 2(2)3 + (2)2 − 8(2)− 4 = 16 + 4− 16− 4 = 0
e
lim
x→2
4x − x3 = −(2)3 + 4(2) = 0.
Observemos que, para x 6= 2 temos
2x3 + x2 − 8x − 4
4x − x3
=
2(x3 − 4x) + (x2 − 4)
x(4− x2)
=
2x(x2 − 4) + (x2 − 4)
x(4− x2)
=
(2x + 1)(x2 − 4)
x(4− x2)
,
ou seja,
2x3 + x2 − 8x − 4
4x − x3
=
2x + 1
−x ,
para x 6= 2.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Logo,
lim
x→2
2x3 + x2 − 8x − 4
4x − x3
= lim
x→2
2x + 1
−x
=
2(2) + 1
−(2)
= −5
2
.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Para o item (2), observemos que a expressão
x → 4+
significa que x se aproxima de a = 4 pela direita, ou seja, por valores maiores
que a = 4. Logo,
|4− x | = −(4− x) = x − 4.
Assim,
lim
x→4+
x2 − 16
|4− x | = lim
x→4+
x2 − 16
x − 4
= lim
x→4+
(x − 4)(x + 4)
x − 4
= lim
x→4+
x + 4
= 4 + 4
= 8.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Para o item (3), observemos que a expressão
x → 4−
significa que x se aproxima de a = 4 pela esquerda, ou seja, por valores
menores que a = 4. Logo,
|4− x | = (4− x) = −x + 4.
Assim,
lim
x→4−
x2 − 16
|4− x | = lim
x→4−
x2 − 16
−x + 4
= lim
x→4−
(x − 4)(x + 4)
−x + 4
= lim
x→4−
−(−x + 4)(x + 4)
−x + 4
= lim
x→4−
−(x + 4)
= −(4 + 4)
= −8.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Para o item (4) observemos que os itens (2) e (3) implicam que
lim
x→4−
x2 − 16
|4− x | = −8 6= 8 = lim
x→4+
x2 − 16
|4− x | ,
monstrando que o limite
lim
x→4
x2 − 16
|4− x |
não existe.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Para o item (5) observemos que
lim
x→1
x2 + x − 2 = 12 + 1− 2 = 0
e
lim
x→1
x − x2 = 1− 12 = 0.
Logo,
lim
x→1
x2 + x − 2
x − x2
= lim
x→1
(x + 2)(x − 1)
x(1− x)
= lim
x→1
(x + 2)(x − 1)
−x(x − 1)
= lim
x→1
(x + 2)
−x
=
1 + 2
−1
= −3,
completando o exerćıcio. �
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
3.o Exerćıcio. Calcule os limites, indicando todo o processo.
1 lim
x→0
√
2 + x −
√
2
x
;
2 lim
x→+∞
5x2 + 8x − 3
3x2 + 2
;
3 lim
x→−∞
√
3x2 + 5
5− 3x
;
4 lim
x→+∞
√
3x2 + 5
5− 3x
.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Solução: Para o item (1) temos que
lim
x→0
√
2 + x −
√
2
x
= lim
x→0
√
2 + x −
√
2
x
.
√
2 + x +
√
2√
2 + x +
√
2
= lim
x→0
2 + x − 2
x(
√
2 + x +
√
2)
= lim
x→0
x
x(
√
2 + x +
√
2)
= lim
x→0
1√
2 + x +
√
2
=
1√
2 +
√
2
=
1
2
√
2
=
√
2
4
.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Para o item (2) temos
lim
x→+∞
5x2 + 8x − 3
3x2 + 2
= lim
x→+∞
x2(
5x2
x2
+
8x
x2
− 3
x2
)
x2(
3x2
x2
+
2
x2
)
= lim
x→+∞
x2(5 +
8
x
− 3
x2
)
x2(3 +
2
x2
)
= lim
x→+∞
5 +
8
x
− 3
x2
3 +
2
x2
=
5 + 0− 0
3 + 0
=
5
3
.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Para o item (3) observemos que
lim
x→−∞
√
3x2 + 5 = +∞ e lim
x→−∞
5− 3x = +∞.
Assim,
lim
x→−∞
√
3x2 + 5
5− 3x
=
lim
x→−∞
√
3x2 + 5
lim
x→−∞
5− 3x
=
lim
x→−∞
√
3x2 + 5
−x
lim
x→−∞
5− 3x
−x
=
lim
x→−∞
√
3x2 + 5
x2
lim
x→−∞
(
5
−x +
−3x
−x )
=
lim
x→−∞
√
3x2 + 5
x2
lim
x→−∞
(− 5
x
+ 3)
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
lim
x→−∞
√
3x2 + 5
5− 3x
=
lim
x→−∞
√
3x2
x2
+
5
x2
lim
x→−∞
(− 5
x
) + lim
x→−∞
3
=
lim
x→−∞
√
3 +
5
x2
lim
x→−∞
(− 5
x
) + lim
x→−∞
3
=
√
lim
x→−∞
(3 +
5
x2
)
lim
x→−∞
(− 5
x
) + lim
x→−∞
3
=
√
lim
x→−∞
3 + lim
x→−∞
(
5
x2
)
lim
x→−∞
(− 5
x
) + lim
x→−∞
3
=
√
3 + 0
0 + 3
=
√
3
3
.
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Para o item (4) observemos que
lim
x→+∞
√
3x2 + 5 = +∞ e lim
x→+∞
5− 3x = −∞.
Assim,
lim
x→+∞
√
3x2 + 5
5− 3x
=
lim
x→+∞
√
3x2 + 5
lim
x→+∞
5− 3x
=
lim
x→+∞
√
3x2 + 5
x
lim
x→+∞
5− 3x
x
=
lim
x→+∞
√
3x2 + 5
x2
lim
x→+∞
(
5
x
+
−3x
x
)
=
lim
x→+∞
√
3x2 + 5
x2
lim
x→+∞
(
5
x
− 3)
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Funções Reais de uma Variável Real Exerćıcios
lim
x→+∞
√
3x2 + 5
5− 3x
=
lim
x→+∞
√
3x2
x2
+
5
x2
lim
x→+∞
(
5
x
) + lim
x→+∞
−3
=
lim
x→+∞
√
3 +
5
x2
lim
x→+∞
(
5
x
)− lim
x→+∞
3
=
√
lim
x→+∞
(3 +
5
x2
)
lim
x→+∞
(
5
x
)− lim
x→+∞
3
=
√
lim
x→+∞
3 + lim
x→+∞
(
5
x2
)
lim
x→+∞
(
5
x
)− lim
x→+∞
3
=
√
3 + 0
0− 3
= −
√
3
3
,
completando a resolução do exerćıcio. �
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