contas (61)

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64. Problema: Se \(f(x) = e^{-2x}\), encontre \(f''(x)\), a segunda derivada de \(f(x)\). 
 Resposta: A segunda derivada de \(f(x) = e^{-2x}\) é \(f''(x) = 4e^{-2x}\). Isso é obtido 
calculando a derivada da derivada primeira. 
 
65. Problema: Determine o valor de \(k\) para que a função \(f(x) = x^3 - kx + 4\) tenha um 
ponto de inflexão em \(x = -1\). 
 Resposta: O coeficiente \(k\) 
 
 deve ser igual a zero. Isso ocorre porque a condição para um ponto de inflexão em \(x = -
1\) é que a segunda derivada seja zero nesse ponto. 
 
66. Problema: Encontre a soma dos \(n\) primeiros termos da sequência \(2, 5, 11, 23, 
\dots\). 
 Resposta: A soma dos \(n\) primeiros termos é \(2^{n+1} - 1\). Isso pode ser obtido 
observando que cada termo é o dobro do anterior mais 1. 
 
67. Problema: Resolva a inequação \(\cos(2x) \geq \frac{1}{2}\). 
 Resposta: A solução é \(x \in [\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}]\), 
onde \(k\) é um inteiro. Isso pode ser obtido resolvendo a desigualdade \(\cos(2x) = 
\frac{1}{2}\) e considerando os intervalos onde o cosseno é maior ou igual a \(\frac{1}{2}\). 
 
68. Problema: Se \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\), encontre \(f'(x)\), a derivada de \(f(x)\). 
 Resposta: A derivada de \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\) é \(f'(x) = -\frac{1}{2(x + 
1)^{\frac{3}{2}}}\). Isso é obtido usando a regra do quociente e a regra da cadeia. 
 
69. Problema: Determine os valores de \(k\) para os quais o sistema de equações \(2x + 3y 
= 1\) e \(kx - 2y = 4\) tem uma solução única. 
 Resposta: O valor de \(k\) deve ser diferente de \(\frac{3}{2}\). Isso ocorre quando o 
determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. 
 
70. Problema: Resolva a equação \(\sin^2(x) - \sin(x) = 0\) no intervalo \([0, 2\pi]\). 
 Resposta: As soluções são \(x = 0\), \(x = \frac{\pi}{2}\), e \(x = \pi\). Isso pode ser obtido 
resolvendo a equação quadrática resultante após substituir \(\sin(x)\) por \(t\). 
 
71. Problema: Se \(f(x) = \ln(\sin(x))\), encontre \(f'(x)\), a derivada de \(f(x)\).