matematica exercitando (138)

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Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^4}} \). 
 
 Resolução: 
 Podemos usar a substituição simples para resolver essa integral. 
 
78. Problema: 
 Determine os valores de \( k \) para os quais a reta \( y = kx + 9 \) é tangente à curva \( y = 
e^x \). 
 
 Resolução: 
 As retas tangentes a uma curva têm a mesma inclinação que a derivada da função no 
ponto de tangência. Encontramos os valores de \( k \) que fazem a derivada da função ser 
igual a \( k \) em algum ponto. 
 
79. Problema: 
 Encontre os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = \cos(x) - \sin(x) \) no intervalo 
\( [0, 2\pi] \). 
 
 Resolução: 
 Para encontrar os pontos de máximo e mínimo em um intervalo fechado, usamos o 
teste da primeira derivada. 
 
80. Problema: 
 Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = \cos(x) \) no 
intervalo \([0, \pi/2]\). 
 
 Resolução: 
 Para encontrar a área, calculamos a integral da função superior menos a integral da 
função inferior no intervalo dado. 
 
81. Problema: 
 Determine os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = \frac{a}{x} - \sin(x) \) tem 
um ponto de inflexão.