Exericico fixação-151

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Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
 
55. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). 
 Explicação: Use a definição de derivada para \( \ln(x) \) para encontrar o limite. 
 
56. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo \( x 
\) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( 2 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre a curva e o eixo \( x \) 
no intervalo dado. 
 
57. Problema: Encontre a soma dos termos da série harmônica \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n^2} \). 
 Resposta: A soma é \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 Explicação: Esta é a série de Basel, cuja soma é conhecida. 
 
58. Problema: Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da curva \( 
y = \sin(x) \). 
 Resposta: A concavidade é para cima em \( \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi 
n\right) \) e para baixo em \( \left(\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{3\pi}{2} + \pi n\right) \), onde \( n 
\) é um número inteiro. Não existem pontos de inflexão. 
 Explicação: Encontre a segunda derivada e determine os intervalos onde é positiva ou 
negativa para determinar a concavidade. Os pontos de inflexão ocorrem onde a 
concavidade muda. 
 
59. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = e^x \) e o eixo \( x \) no 
intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre a curva e o eixo \( x \) 
no intervalo dado. 
 
60. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto 
onde \( x = 1 \).