apx1 2021-2

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AP1 – 2021-2 - Equações Diferenciais e Equações Diferenciais Ordinárias 
Tipo 1 
1) (2,5 pontos) 
a) Verifique que a equação (𝑦2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑦 = 0 é homogênea (1,0 ponto) 
b) Resolver a equação do item(a) que satisfaz 𝑦(1) = 1 (1,5 ponto) 
Solução 
a) Seja 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 + 𝑥𝑦 , 𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑥2. 
 Como 𝑀(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑦)2 + (𝑡𝑥)(𝑡𝑦) = 𝑡2(𝑦2 + 𝑥𝑦) = 𝑡²𝑀(𝑥, 𝑦) 
𝑁(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = −(𝑡𝑥)2 = 𝑡2(−𝑥2) = 𝑡2𝑁(𝑥, 𝑦) 
são homogêneas de grau 2 logo a equação diferencial é homogênea. 
b) Fazendo a mudança 𝑣 =
𝑦
𝑥
 logo 𝑦 = 𝑥𝑣 e 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣 tem-se que 
((𝑥𝑣2 + 𝑥(𝑥𝑣))𝑑𝑥 − 𝑥2(𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣) = 0 de onde (𝑥2𝑣2 + 𝑥2𝑣 − 𝑥²𝑣)𝑑𝑥 − 𝑥3𝑑𝑣 = 0, 
assim tem-se 𝑥2𝑣2𝑑𝑥 − 𝑥3𝑑𝑣 = 0 dividindo por 𝑥3𝑣² tem-se 
1
𝑥
𝑑𝑥 −
1
𝑣2
𝑑𝑣 = 0 integrando 
tem-se ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 − ∫
1
𝑣2
𝑑𝑣 = 0 de onde 𝑙𝑛|𝑥| +
1
𝑣
= 𝑐 
Como 𝑣 =
𝑦
𝑥
 tem-se 𝑙𝑛|𝑥| +
𝑥
𝑦
= 𝑐 
Como 𝑦(1) = 1, isto é, se 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1 tem-se 𝑐 = 1. 
Logo 𝑙𝑛|𝑥| +
𝑥
𝑦
= 1 ou 𝑦𝑙𝑛|𝑥| + 𝑥 = 𝑦 é a solução buscada. 
 
2) (2,5 pontos) 
a) Verifique que a equação (4𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑦 = 0 é 
homogênea (1,0 ponto) 
b) Resolver a equação do item(a) que satisfaz 𝑦(1) = 1 (1,5 ponto) 
Solução 
a) Análogo a questão 1a. 
b) Fazendo 𝑢 =
𝑦
𝑥
 a solução é dada resolvendo 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑢2 − 𝑢 + 1
4 + 𝑢3
𝑑𝑢 = 𝑐 
3) (2,5 pontos) 
a) Verifique que a equação (𝑦 + √𝑦2 − 𝑥²) 𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 é homogênea (1,0 
ponto) 
b) Resolver a equação do item(a) que satisfaz 𝑦(1) = 1 (1,5 ponto) 
Solução 
a) Análogo a questão 1a. 
b) A solução é: 
2𝑦 = 𝑥2 + 1 
Tipo 2 
1) (2,5 pontos) 
Resolva a equação de Ricatti 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
4
𝑥2
−
1
𝑥
𝑦 + 𝑦2 
Sabendo que 𝑦1(𝑥) =
2
𝑥
 é uma solução particular. 
Solução 
Uma equação de Ricatti é uma equação diferencial não linear da forma 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑎0(𝑥) + 𝑎1(𝑥)𝑦 + 𝑎2(𝑥)𝑦
2 
Se 𝑦1(𝑥) é uma solução particular, fazendo a mudança 𝑧 = 𝑦 − 𝑦1 obtemos a seguinte 
equação de Bernoulli 
𝑧′(𝑥) − (𝑎1(𝑥) + 2𝑦1(𝑥)𝑎2(𝑥))𝑧 = 𝑎2(𝑥)𝑧
2 
Com 𝑛 = 2 assim fazendo 𝑣 =
1
𝑧
 temos a equação linear de primeiro grau 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ (𝑎1(𝑥) + 2𝑦1(𝑥)𝑎2(𝑥))𝑣 = −𝑎2(𝑥) ① 
Por tanto a solução da equação de Ricatti, conhecendo uma solução particular 𝑦1(𝑥) é 
dada por 
𝑦(𝑥) = 𝑦1(𝑥) +
1
𝑣(𝑥)
 
Onde 𝑣(𝑥) é solução de ①. 
Neste caso 𝑎0(𝑥) = −
4
𝑥2
 , 𝑎1(𝑥) = −
1
𝑥
 , 𝑎2(𝑥) = 1 e 𝑦1(𝑥) =
2
𝑥
. Logo a solução é 
𝑦(𝑥) = 𝑦1(𝑥) +
1
𝑣(𝑥)
 onde 𝑣(𝑥) é solução de ①, assim 𝑣(𝑥) satisfaz 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ (−
1
𝑥
+ 2 (
2
𝑥
) (1)) 𝑣 = −1 
Isto é, 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+
3
𝑥
𝑣 = −1 
Que é uma equação linear de primeira ordem com 𝑝(𝑥) =
3
𝑥
 , 𝑞(𝑥) = −1 então 
𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫
3
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒3𝑙𝑛𝑥 = (𝑒𝑙𝑛𝑥)
3
= 𝑥3 e 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥−3 
Logo 
𝑣(𝑥) = 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 [∫ 𝑞(𝑥)𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶] 
= 𝑥−3[∫ −𝑥3 + 𝐶] 
= 𝑥−3 [−
𝑥4
4
+ 𝐶] 
= −
𝑥
4
+ 𝐶𝑥−3 
Assim a solução é 
𝑦(𝑥) =
2
𝑥
+
1
−
𝑥
4 + 𝐶𝑥
−3
 
 
2) (2,5 pontos) 
Resolva a equação de Ricatti 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 + 4𝑦 − 7𝑦2 
Solução 
Verifica-se que trivialmente que 𝑦1 = 1 é uma solução particular. Assim tem-se, seguindo 
o processo da questão 1, que a solução é dada por: 
𝑦 = 1 +
1
−7
10 + 𝑐𝑒
10𝑥
 
3) (2,5 pontos) 
Resolva a equação de Ricatti 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥 + (1 + 2𝑒𝑥)𝑦 + 𝑦2 
Sabendo que 𝑦1(𝑥) = −𝑒
𝑥 é uma solução particular. 
Solução 
Como 𝑦1(𝑥) = −𝑒
𝑥 é uma solução particular. Assim tem-se, seguindo o processo da 
questão 1, que a solução é dada por: 
𝑦 = −𝑒𝑥 +
1
𝑐𝑒−𝑥 − 1
 
 
 
 
Tipo 3 
1) (2,5 pontos) 
Considere a equação 
(5𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑛𝑥 − 8𝑦3)𝑑𝑦 = 0 
a) Determine o valor de “n” para que a equação seja exata (1,0 ponto) 
b) Resolver a equação para o valor de “n” obtido no item (a) (1,5 ponto) 
Solução 
a) Como 𝑀(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + 4𝑦 e 𝑵(𝑥, 𝑦) = 2𝑛𝑥 − 8𝑦3 a equação é exata se 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
assim 4 = 2𝑛 de onde 𝑛 = 2 
b) Como a equação é exata para 𝑛 = 2, existe 𝝋(𝑥, 𝑦) chamado função potencial tal que 
i) 
𝜕𝜑
𝜕𝑥
= 𝑀 = 5𝑥 + 4𝑦 
ii) 
𝜕𝜑
𝜕𝑦
= 𝑁 = 4𝑥 − 8𝑦3 
Integrando em relação a x em (i) tem-se 
𝝋(𝑥, 𝑦) = ∫ 5𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑥 =
5𝑥2
2
+ 4𝑦𝑥 + 𝑐(𝑦) 
derivando esta ultima expressão de 𝝋 com respeito a y e igualando com (ii) tem-se 
4𝑥 + 𝑐′(𝑦) = 4𝑥 − 8𝑦3 
de onde 𝑐′(𝑦) = −8𝑦3 
logo 
𝑐(𝑦) = − ∫ 8𝑦3𝑑𝑦 = −
8𝑦4
4
= −2𝑦4 
Assim 
𝝋(𝑥, 𝑦) =
5𝑥2
2
+ 4𝑦𝑥 − 2𝑦4 
Logo a solução da equação diferencial é 𝝋(𝑥, 𝑦) = 𝑘 isto é, 
5𝑥2
2
+ 4𝑦𝑥 − 2𝑦4 = 𝑘 
2) (2,5 pontos) 
Considere a equação 
(3𝑥² + 6𝑥𝑦²)𝑑𝑥 + (𝑛𝑥2𝑦 + 4𝑦3)𝑑𝑦 = 0 
a) Determine o valor de “n” para que a equação seja exata (1,0 ponto) 
b) Resolver a equação para o valor de “n” obtido no item (a) (1,5 ponto) 
 
 
 
Solução 
a) n=6 
b) A solução é 𝑥3 + 3𝑥2𝑦2 + 𝑦4 = 𝑐 
3) (2,5 pontos) 
Considere a equação 
𝑥(𝑛𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑦(𝑥² + 2𝑦²)𝑑𝑦 = 0 
a) Determine o valor de “n” para que a equação seja exata (1,0 ponto) 
b) Resolver a equação para o valor de “n” obtido no item (a) (1,5 ponto) 
Solução 
a) n qualquer 
b) A solução é 
𝑛𝑥4
4
+
𝑥2𝑦2
2
+
𝑦4
2
= 𝑐 
Tipo 4 
1) (2,5 pontos) 
Considere a equação linear de primeira ordem 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
3
𝑥
𝑦 = 𝑞(𝑥) 
a) Resolva a equação acima quando 𝑞(𝑥) = 0 (1,0 pontos) 
b) Resolva a equação a cima quando 𝑞(𝑥) = 2𝑥−2𝑒𝑥
2
 (1,5 pontos) 
Solução 
a) Sabemos que a solução de uma equação linear de primeira ordem da forma 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) 
é dada por 𝑦(𝑥) = 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥[∫ 𝑞(𝑥)𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶] 
Assim para nós 𝑝(𝑥) =
3
𝑥
 , 𝑞(𝑥) = 0. Logo 
𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫
3
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒3𝑙𝑛𝑥 = (𝑒𝑙𝑛𝑥)
3
= 𝑥3 e 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥3)−1 = 𝑥−3 
Assim 
𝑦(𝑥) = 𝑥−3 [∫ 0 𝑑𝑥 + 𝐶] = 𝐶𝑥−3 
b) Neste caso 𝑝(𝑥) =
3
𝑥
 , 𝑞(𝑥) = 2𝑥−2𝑒𝑥
2
. Assim 
𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥3 e 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥−3 
Logo 
𝑦(𝑥) = 𝑥−3 [∫ 2𝑥−2𝑒𝑥
2
𝑥3𝑑𝑥 + 𝐶] 
= 𝑥−3[∫ 2𝑥𝑒𝑥
2
+ 𝐶] 
= 𝑥−3[𝑒𝑥
2
+ 𝐶] 
= 𝑥−3𝑒𝑥
2
+ 𝐶𝑥−3 
2) (2,5 pontos) 
Considere a equação linear de primeira ordem 
𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑞(𝑥) 
a) Resolva a equação acima quando 𝑞(𝑥) = 2𝑥2 cos 𝑥 (1,0 pontos) 
b) Resolva a equação a cima quando 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 (1,5 pontos) 
Solução 
a) 𝑦 = 𝑥(2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐) 
b) 𝑦 = 𝑥(𝑥 + ln (𝑥) + 𝑐) 
3) (2,5 pontos) 
Considere a equação linear de primeira ordem 
𝑦′ +
𝑦
1 + 𝑥
= 𝑞(𝑥) 
a) Resolva a equação acima quando 𝑞(𝑥) = (𝑥 + 1)³ (1,0 pontos) 
b) Resolva a equação a cima quando 𝑞(𝑥) = 𝑥2 − 1 (1,5 pontos) 
Solução 
a) 𝑦 =
1
𝑥+1
[
(𝑥+1)5
5
+ 𝑐] 
b) 𝑦 =
1
𝑥+1
[
𝑥4
4
+
𝑥3
3
−
𝑥2
2
− 𝑥 + 𝑐]