Respostas Pesquisa Operacional

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UNIP – Universidade Paulista
Respostas – Exercício Pesquisa Operacional
1). A alternativa que apresenta as afirmativas corretas, é a letra d) Apenas as afirmações II e V são verdadeiras.
Justificativa da questão 1:
	A função objetivo para o problema apresentado visa a maximização do lucro, conforme descrito no próprio enunciado. Portanto, o modelo correto desta função será:
FO = MaxLucro = 325 * unidades vendidas de P1 + 65 * unidades vendidas de P2
	
	Da mesma forma, a única restrição que condiz com o conteúdo presente no enunciado, é a que apresenta:
8 * unidades vendidas de P1 + 3 * unidades vendidas de P2 ≤ 15
2). A alternativa que apresenta o modelo matemático de maximização do número de casas construídas desta questão, é a letra d).
Justificativa da questão 2:
Analisando a afirmativa de que o objetivo do modelo matemático desta questão, seja maximizar o número de casas a serem construídas, visualmente é possível notar que a alternativa que apresenta corretamente a função objetivo desta questão, é a letra d), pois conforme o enunciado, x1 = número de casas do tipo A, x2 = número de casas do tipo B, e x3 = número de casas do tipo C. Logo, temos que:
Função Objetivo:
Max(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3
Sujeito a:
6x1 < 150
4x2 < 200
3x3 < 250
1200x1 + 1000x2 + 800x3 < 200000
x1, x2 e x3 ≥ 0
3). A alternativa que apresenta o gráfico correto para uma das restrições do problema de programação linear apresentado é a b)
Justificativa da questão 3:
Inicialmente, substituímos o x1 e x2 por 0, para obtermos os pontos P1 e P2, e traçar a reta correspondente:
3x1 + x2 ≥ 6 
com o x1 = 0 para obter x2, fica: 
0 + x2 = 6
x2 = 6 à P1 = (0 ; 6)
3x1 + x2 ≥ 6 
com o x2 = 0 para obter x1, fica: 
3x1 + 0 = 6
x1 = 6 / 3
x1 = 2 à P2 = (2 ; 0)
Conferindo a viabilidade, e substituindo x1 e x2 por 0 temos que: 
3x1 + x2 ≥ 6 à 3*0 + 0 = 0
0 é < que 6, logo, o ponto de origem (0 ; 0) não satisfaz a desigualdade da equação, apresentando região de viabilidade acima da reta ( ↗ ).
Com o conteúdo acima apresentado, o gráfico que corresponde à justificativa, e se iguala à uma das afirmativas é:
b) 6 
2 
x2
 
x1
4). a). Apresente a modelagem matemática deste problema.
	No problema acima, inicialmente devemos identificar quais são as variáveis de decisão. No enunciado desta questão são apresentadas as seguintes variáveis:
x1 = libras de milho na mistura / x2 = libras de preparo de soja na mistura 
	
Após identificar as variáveis, a função objetivo deste problema deve ser evidenciado. Logo, temos que:
FO: Minimizar Z = 0,3x1 + 0,9x2
	Com a função objetivo apresentada, agora é o momento de, analisando o enunciado, identificar as restrições. Portanto, temos que:
x1 + x2 ≥ 800 (libras de milho e preparo de soja na mistura diária)
0,09x1 + 0,6x2 ≥ 0,3 (x1+ x2) (requisito nutricional de proteína)
Vamos passar para o lado esquerdo os valores de x1 e x2 (0,3x1 + 0,3x2) e deixar a inequação ≥ 0, aplicando a fórmula matemática de distribuição:
0,09x1 + 0,6x2 ≥ 0,3x1 + 0,3x2
0,09x1 + 0,6x2 – 0,3x1 – 0,3x2 ≥ 0
0,09x1 + (– 0,3x1) + 0,6x2 + (– 0,3x2) ≥ 0
– 0,21x1 + 0,3x2 ≥ 0
0,02x1 + 0,06x2 ≤ 0,05 (x1 + x2) (requisito nutricional de fibra)
Vamos passar para o lado esquerdo os valores de x1 e x2 (0,05x1 + 0,05x2) e deixar a inequação ≤ 0, aplicando a fórmula matemática de distribuição:
0,02x1 + 0,06x2 ≤ 0,05x1 + 0,05x2
0,02x1 + 0,06x2 – 0,05x1 – 0,05x2 ≤ 0
0,02x1 + (– 0,05x1) + 0,06x2 + (– 0,05x2) ≤ 0
– 0,03x1 + 0,01x2 ≤ 0
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (restrição de não-negatividade)
	Portanto, a modelagem matemática deste problema ficou assim:
Função Objetivo:
MinCusto(x1, x2) = 0,3x1 + 0,9x2
Sujeito a: 
x1 + x2 ≥ 800
– 0,21x1 + 0,3x2 ≥ 0
– 0,03x1 + 0,01x2 ≤ 0
x1, x2 ≥ 0
b). Insira esta modelagem matemática no Excel, para ser resolvida no Solver. Faça um print-screen da modelagem.
c). Rode o solver e apresente o ponto ótimo e o valor da função objetivo no ponto ótimo.
	Com o resultado obtido após rodar o Solver, é possível visualizarmos que o ponto ótimo se configura como x1 = 470,59 e x2 = 329,41.
	Já com relação ao valor da função objetivo no ponto ótimo, este se configura como Z = 437,65.
	No nosso entendimento, com base no que pudemos captar em aula, isto significa dizer que o custo mínimo diário associado às misturas, corresponde a:
Z = 0,3 * 470,59 + 0,9 * 329,41 = R$437,65 por dia
	Ou seja, a mescla de 470,59 libras de ração de milho com custo de R$0,30 + 329,41 libras de ração de soja com custo de R$0,90, determinam em um custo diário de mistura de R$ 437,65.
5). a). Apresente a representação geométrica do conjunto de soluções viáveis para o problema. 
Inicialmente, substituímos o x1 e x2 por 0 na primeira restrição, para obtermos os pontos P1 e P2, e traçar a reta correspondente:
0,3x1 + 0,1x2 ≤ 2,7
com o x1 = 0 para obter x2, fica: 
0 + 0,1x2 = 2,7
x2 = 2,7 / 0,1
x2 = 27 à P1 = (0 ; 27)
0,3x1 + 0,1x2 ≤ 2,7
com o x2 = 0 para obter x1, fica: 
0,3x1 + 0 = 2,7
x1 = 2,7 / 0,3
x1 = 9 à P2 = (9 ; 0)
Conferindo a viabilidade, e substituindo x1 e x2 por 0 temos que: 
0,3x1 + 0,1x2 ≤ 2,7 à 0,3*0 + 0,1*0 = 0
0 é < que 2,7, logo, o ponto de origem (0 ; 0) satisfaz a desigualdade da equação, apresentando região de viabilidade abaixo da reta ( ↙ ).
Agora, repetiremos o mesmo processo com a segunda restrição, para encontrarmos os pontos P3 e P4:
0,5x1 + 0,5x2 = 6
com o x1 = 0 para obter x2, fica: 
0 + 0,5x2 = 6
x2 = 6 / 0,5
x2 = 12 à P3 = (0 ; 12)
0,5x1 + 0,5x2 = 6
com o x2 = 0 para obter x1, fica: 
0,5x1 + 0 = 6
x1 = 6 / 0,5
x1 = 12 à P4 = (12 ; 0)
Conferindo a viabilidade, e substituindo x1 e x2 por 0 temos que: 
0,5x1 + 0,5x2 = 6 à 0,5*0 + 0,5*0 = 0 
0 não é igual a 6, logo, o ponto de origem (0 ; 0) não satisfaz a desigualdade da equação, apresentando região de viabilidade acima da reta ( ↗ ).
Faremos o mesmo processo com a terceira restrição, para encontrarmos os pontos P5 e P6: 
0,6x1 + 0,4x2 ≥ 6
com o x1 = 0 para obter x2, fica: 
0 + 0,4x2 = 6
x2 = 6 / 0,4
x2 = 15 à P5 = (0 ; 15)
0,6x1 + 0,4x2 ≥ 6
com o x2 = 0 para obter x1, fica: 
0,6x1 + 0 = 6
x1 = 6 / 0,6
x1 = 10 à P6 = (10 ; 0)
Conferindo a viabilidade, e substituindo x1 e x2 por 0 temos que: 
0,6x1 + 0,4x2 ≥ 6 à 0,6*0 + 0,4*0 = 0 
0 é < que 6, logo, o ponto de origem (0 ; 0) não satisfaz a desigualdade da equação, apresentando região de viabilidade acima da reta ( ↗ ).
	Com isto, temos a seguinte representação geométrica, composta pelos conjuntos de soluções:
Região de
Viabilidade
b). Identifique o ponto ótimo.
Para identificação do ponto ótimo, precisamos localizar os vértices da região de viabilidade, e reuni-los como apresentado abaixo:
Região de
Viabilidade
A
B
C
D
A = (0 ; 27)		B = (0 ; 15)		C = ???		D = ???
	No caso acima, será necessário determinar as coordenadas dos pontos C e D, uma vez que estes vértices se formaram a partir do cruzamento da linha verde com a linha azul (ponto C), e linha verde com linha rosa (ponto D).
	Então, vamos determinar o ponto de encontro entre a reta verde (0,5x1 + 0,5x2 = 6) e reta azul (0,6x1 + 0,4x2 = 6). Para isto, podemos utilizar os métodos de igualdade, adição ou substituição, para resolução do sistema. 
	Neste caso, faremos isto aplicando o método da adição no sistema gerado com as duas equações:
0,6x1 + 0,4x2 = 6
0,5x1 + 0,5x2 = 6 (– 0,8) ß multiplicamos por uma constante negativa, de forma que esta converta pelo menos 1 das incógnitas, transformando-a no inverso aditivo da outra equação. Isto é necessário, porque neste caso, o sistema é composto por incógnitas que não são opostos aditivos:
0,6x1 + 0,4x2 = 6
– 0,4x1 – 0,4x2 = – 4,8
0,2x1 = 1,2
x1 = 1,2 / 0,2
x1 = 6
	Agora, substituindo o x1 em qualquer uma das equações para determinar o x2, temos que:
0,6x1 + 0,4x2 = 6
0,6*6 + 0,4x2 = 6
3,6 + 0,4x2 = 6
0,4x2 = 6 – 3,6
0,4x2 = 2,4
x2 = 2,4 / 0,4
x2 = 6
	Portanto, o ponto C = (6 ; 6). Agora, seguindo o mesmo processo, encontraremos o ponto D.
	Então, vamos determinar o ponto de encontro entre a reta verde (0,5x1 + 0,5x2 = 6) e a retarosa (0,3x1 + 0,1x2 ≤ 2,7).
Da mesma forma como no caso anterior, utilizaremos o método da adição no sistema gerado com as duas equações:
0,3x1 + 0,1x2 = 2,7
0,5x1 + 0,5x2 = 6 (– 0,2) ß multiplicamos por uma constante negativa
	Assim, teremos o sistema com o inverso aditivo:
0,3x1 + 0,1x2 = 2,7
– 0,1x1 – 0,1x2 = – 1,2
0,2x1 = 1,5
x1 = 1,5 / 0,2
x1 = 7,5
Agora, substituindo o x1 em qualquer uma das equações para determinar o x2, temos que:
0,3x1 + 0,1x2 = 2,7
0,3*7,5 + 0,1x2 = 2,7
2,25 + 0,1x2 = 2,7
0,1x2 = 2,7 – 2,25
0,1x2 = 0,45
x2 = 0,45 / 0,1
x2 = 4,5
Portanto, o ponto D = (7,5 ; 4,5). Agora, estamos aptos para determinar o ponto ótimo, uma vez que já possuímos os pontos de cada vértice, referentes à área de viabilidade:
A = (0 ; 27)		B = (0 ; 15)		C = (6 ; 6)		D = (7,5 ; 4,5)
Minimizar Z = 0,4x1 + 0,5x2
	A = (0 ; 27) =
	0,4 * 0 + 0,5 * 27 = 13,5
	B = (0 ; 15) =
	0,4 * 0 + 0,5 * 15 = 7,5
	C = (6 ; 6) =
	0,4 * 6 + 0,5 * 6 = 2,4 + 3 = 5,4
	D = (7,5 ; 4,5) =
	0,4 * 7,5 + 0,5 * 4,5 = 3 + 2,25 = 5,25
	Logo, o ponto ótimo para minimizar Z corresponde a x1 = 7,5; x2 = 4,5.
c). Qual o valor da função objetivo no ponto ótimo?
	A função objetivo deste problema corresponde a:
Z(min) = 0,4*7,5 + 0,5*4,5 = 5,25.
Portanto, o valor ótimo desta função, corresponde a 5,25, conforme apresentado na função acima, bem como destacado na tabela supra apresentada.
Gráfico
Valores Y	0	9	0	12	0	10	27	0	12	0	15	0	x1
x2
Gráfico
Valores Y	P1
P2
P3
P4
P5
P6
0	9	0	12	0	10	27	0	12	0	15	0	x1
x2
Função Objetivo
x1x2
0,30,9
Variáveis
Z=0
Restrições nº
No.x1x2LHSRHS
1110800
2-0,210,3000
3
-0,030,0100
Coeficientes das Variáveis
Coeficientes das VariáveisConstantes
Minimizar Custo
Função Objetivo
x1x2
0,30,9
Variáveis470,5882353329,4117647
Z=437,6470588
Restrições nº
No.x1x2LHSRHS
111800800
2-0,210,3000
3
-0,030,01-10,82352940
Coeficientes das Variáveis
Coeficientes das VariáveisConstantes
Minimizar Custo
 
A 
 
A