Calcule a integral ∫ 1 / (x^2 + 2x + 2) dx. a) 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2)) + C b) 1/sqrt(2) arctan((x-1)/sqrt(2)) + C c) 1/sqrt(2) arctan(x/sq...

Para resolver essa integral, podemos completar o quadrado no denominador para facilitar a integração. O denominador x^2 + 2x + 2 pode ser reescrito como (x + 1)^2 + 1. Assim, a integral de 1 / (x^2 + 2x + 2) dx se torna a integral de 1 / ((x + 1)^2 + 1) dx. Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição trigonométrica x + 1 = sqrt(2) * tan(t), o que nos leva a dx = sqrt(2) * sec^2(t) dt. Substituindo na integral, obtemos a integral de 1 / ((x + 1)^2 + 1) dx = ∫ 1 / (tan^2(t) + 1) * sqrt(2) * sec^2(t) dt. Essa integral resulta em arctan((x + 1) / sqrt(2)) / sqrt(2) + C. Portanto, a alternativa correta é: a) 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2)) + C.