As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento das partículas em um espaço tridimensional, e a distribuição d...

Para determinar a derivada direcional de \( f(x, y, z) = xy + y^2z \) no ponto \( P = (7, -2, 1) \) na direção do vetor \( v = (2, 2, 1) \), utilizamos a fórmula da derivada direcional: \[ D_v f = \nabla f \cdot \frac{v}{\|v\|} \] Onde \( \nabla f \) é o vetor gradiente de \( f \) e \( \|v\| \) é a norma do vetor \( v \). Primeiro, calculamos o vetor gradiente de \( f \): \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \] Calculando as derivadas parciais: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2yz \] \[ \frac{\partial f}{\partial z} = y^2 \] Agora, calculamos o vetor gradiente de \( f \) no ponto \( P \): \[ \nabla f(7, -2, 1) = (-2, 7, 4) \] Em seguida, calculamos a derivada direcional: \[ D_v f = (-2, 7, 4) \cdot \frac{(2, 2, 1)}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} \] \[ D_v f = (-2, 7, 4) \cdot \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right) \] \[ D_v f = -\frac{4}{3} + \frac{14}{3} + \frac{4}{3} \] \[ D_v f = \frac{14}{3} \] Portanto, a derivada direcional de \( f(x, y, z) = xy + y^2z \) no ponto \( P = (7, -2, 1) \) na direção do vetor \( v = (2, 2, 1) \) é \( \frac{14}{3} \).