Problemas de Cálculo e Séries

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788. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(43x)}{x} \). 
 
 **Resposta:** Usando a definição de limite, temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(43x)}{x} = 43. 
 \] 
 
789. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(40x + 1) \). 
 
 **Resposta:** A derivada é: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{40}{40x + 1}. 
 \] 
 
790. **Problema:** Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{(41x-39)^n}{n} \). 
 
 **Resposta:** O raio de convergência é \( R = \frac{1}{41} \). 
 
791. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 42y = 0 \). 
 
 **Resposta:** A solução geral é: 
 \[ 
 y(x) = C_1 \cos(2\sqrt{21} x) + C_2 \sin(2\sqrt{21} x), 
 \] 
 onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 
792. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos x) \), de \( x = 0 \) a \( 
x = \frac{\pi}{3} \). 
 
 **Resposta:** O comprimento da curva é: 
 \[ 
 L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec x \, dx = \ln(\sqrt{3} + 1). 
 \] 
 
793. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{42x} \, dx \). 
 
 **Resposta:** Integre por partes com \( u = x \) e \( dv = e^{42x} \, dx \): 
 \[ 
 \int_{0}^{1} x e^{42x} \, dx = \left[ \frac{x e^{42x}}{42} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 
\frac{e^{42x}}{42} \, dx = \frac{e^{42}}{1764} - \frac{1}{1764}. 
 \] 
 
794. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \sin(43x) \) centrada em \( x = 0 
\). 
 
 **Resposta:** A série de Taylor é: 
 \[ 
 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(43x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 43x - \frac{79507x^3}{6} + 
\frac{3980349x^5}{120} - \cdots. 
 \] 
 
795. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(44x)}{\sin(45x)} \). 
 
 **Resposta:** Utilizando a expansão em série de Taylor para \( \tan x \) e \( \sin x \), 
temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(44x)}{\sin(45x)} = \lim_{x \to 0} \frac{44x + \frac{(44x)^3}{3}}{45x + 
\frac{(45x)^3}{6}} = \frac{44}{45}. 
 \] 
 
796. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(41x + 1) \). 
 
 **Resposta:** A derivada é: 
 \[