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675. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \sin(26x) \) centrada em \( x = 0 \). **Resposta:** A série de Taylor é: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(26x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 26x - \frac{17576x^3}{6} + \frac{456976x^5}{120} - \cdots. \] 676. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(27x)}{x} \). **Resposta:** Usando a definição de limite, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(27x)}{x} = 27. \] 677. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(24x + 1) \). **Resposta:** A derivada é: \[ f'(x) = \frac{24}{24x + 1}. \] 678. **Problema:** Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(25x-23)^n}{n} \). **Resposta:** O raio de convergência é \( R = \frac{1}{25} \). 679. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 26y = 0 \). **Resposta:** A solução geral é: \[ y(x) = C_1 \cos(2\sqrt{13} x) + C_2 \sin(2\sqrt{13} x), \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 680. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos x) \), de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{3} \). **Resposta:** O comprimento da curva é: \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec x \, dx = \ln(\sqrt{3} + 1). \] 681. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{26x} \, dx \). **Resposta:** Integre por partes com \( u = x \) e \( dv = e^{26x} \, dx \): \[ \int_{0}^{1} x e^{26x} \, dx = \left[ \frac{x e^{26x}}{26} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{26x}}{26} \, dx = \frac{e^{26}}{676} - \frac{1}{676}. \] 682. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \sin(27x) \) centrada em \( x = 0 \). **Resposta:** A série de Taylor é: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(27x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 27x - \frac{19683x^3}{6} + \frac{531441x^5}{120} - \cdots. \] 683. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(28x)}{\sin(29x)} \).