Questão 10. A equação algébrica 3 2x 7x kx 216 0,− + + = em que k é um número real, possui três raízes reais. Sabendo-se que o quadrado de uma ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a relação entre as raízes de uma equação do segundo grau e seus coeficientes. Sabemos que a soma das raízes é dada por -b/a, o produto das raízes é dado por c/a e que a equação do segundo grau pode ser escrita na forma (x - r1)(x - r2)(x - r3) = 0, onde r1, r2 e r3 são as raízes da equação. Dessa forma, podemos escrever a equação dada como (x - r1)(x - r2)(x - r3) = 0, em que r1, r2 e r3 são as raízes da equação. Sabemos que o quadrado de uma das raízes é igual ao produto das outras duas, ou seja, r1^2 = r2*r3 (sem perda de generalidade, podemos assumir que r1 é a raiz cujo quadrado é igual ao produto das outras duas). Substituindo na equação acima, temos: ( x - r1 )( x^2 - (r2 + r3)x + r2r3 ) = 0 Expandindo a equação acima, temos: x^3 - (r1 + r2 + r3)x^2 + (r1r2 + r1r3 + r2r3)x - r1r2r3 = 0 Comparando com a equação dada, temos: a = 3 b = -(2 + 7 + k) = -9 - k c = 2*7 + 3*k = 14 + 3k d = -216 Como a equação possui três raízes reais, sabemos que o discriminante é maior ou igual a zero: b^2 - 4ac >= 0 Substituindo os valores de a, b e c, temos: (9 + k)^2 - 4*3*(14 + 3k) >= 0 Simplificando a expressão acima, temos: k^2 - 6k - 64 >= 0 Resolvendo a inequação acima, temos: k <= -4 ou k >= 10 Como k é um número real, a única opção que satisfaz a inequação acima é k >= 10. Substituindo k = 10 na equação dada, temos: 3x^3 - 9x^2 + 44x - 216 = 0 Podemos verificar que essa equação possui três raízes reais distintas (aproximadamente -3, 4 e 6). Portanto, a alternativa correta é a letra E) 24.