A equação algébrica ????3 −7????2 + ???????? + 216 = 0, em que ???? é um número real, possui três raízes reais. Sabendo-se que o quadrado de uma das raízes d...

Podemos resolver essa questão utilizando a relação entre as raízes de uma equação do segundo grau e a soma e o produto dessas raízes. Seja r1, r2 e r3 as raízes da equação, temos que: r1 + r2 + r3 = 7 r1r2 + r1r3 + r2r3 = ???? Sabemos que o quadrado de uma das raízes é igual ao produto das outras duas, então podemos escrever: r1^2 = r2r3 r2^2 = r1r3 r3^2 = r1r2 Substituindo essas relações na equação r1r2 + r1r3 + r2r3 = ???? , temos: r1r2 + r1r3 + r2r3 = r1^2 + r2^2 + r3^2 r1r2 + r1r3 + r2r3 = (r1^2 + r2^2) + r3^2 r1r2 + r1r3 + r2r3 = (r1r3 + r2r3) + r3^2 r1r2 = r3^2 Substituindo r1r2 por r3^2 na equação ????3 −7????2 + ???????? + 216 = 0, temos: r3^3 - 7r3^2 + r3^4 + 216 = 0 r3^4 + r3^3 - 7r3^2 + 216 = 0 Podemos fatorar essa equação: (r3^2 - 6r3 + 36)(r3^2 + r3 - 6) = 0 As raízes dessa equação são: r3 = 3, -4, 2 Como a equação possui três raízes reais, podemos concluir que a raiz r3 = -4 é extranha, pois não é possível obter um número real elevado a uma potência ímpar e obter um número negativo. Portanto, a raiz r3 = -4 não é válida. Assim, as raízes da equação são r1 = 6 e r2 = -3. Substituindo esses valores na equação r1 + r2 + r3 = 7, temos: 6 - 3 + r3 = 7 r3 = 4 Portanto, o valor de ???? é igual a: r1r2r3 = 6*(-3)*4 = -72 Alternativa correta: letra A) -64.