Mostre que ∂f/∂x e ∂f/∂y não são cont́ınuas em (0, 0).

Para mostrar que ∂f/∂x e ∂f/∂y não são contínuas em (0, 0), podemos usar a definição de derivada parcial. Seja f(x,y) = (xy)/(x^2 + y^2) se (x,y) ≠ (0,0) e f(x,y) = 0 se (x,y) = (0,0). Para mostrar que ∂f/∂x não é contínua em (0,0), podemos calcular a derivada parcial em relação a x usando a definição: ∂f/∂x = lim(h → 0) [f(0+h,0) - f(0,0)]/h = lim(h → 0) [(0*0)/(h^2 + 0^2) - 0]/h = lim(h → 0) 0/h = 0. Agora, para mostrar que ∂f/∂y não é contínua em (0,0), podemos calcular a derivada parcial em relação a y usando a definição: ∂f/∂y = lim(k → 0) [f(0,0+k) - f(0,0)]/k = lim(k → 0) [(0*k)/(0^2 + k^2) - 0]/k = lim(k → 0) 0/k = 0. Portanto, ∂f/∂x e ∂f/∂y são ambas iguais a 0 em (0,0). No entanto, se considerarmos a reta y = mx, onde m é uma constante, e tomarmos o limite de f(x,mx) quando x se aproxima de 0, obtemos: lim(x → 0) f(x,mx) = lim(x → 0) [(x*mx)/(x^2 + m^2x^2)] = lim(x → 0) [m/(1 + m^2)] = m/(1 + m^2). Isso significa que o valor de f(x,y) ao longo da reta y = mx depende do valor de m, o que implica que f(x,y) não é contínua em (0,0). Portanto, ∂f/∂x e ∂f/∂y não são contínuas em (0,0).