Tema 01 - 05 - 2 - ATIVIDADES - GABARITO

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1 Cálculo II 
 
 
CURSOS: ENGENHARIA CIVÍL; ENHENHARIA DA COMPUTAÇÃO; ENHENHARIA ELÉTRICA; 
ENHENHARIA DE PRODUÇÃO. 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
 
TEMA 01: INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE INTEGRAL 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - GABARITO 
 
1) Calcule as seguintes integrais indefinidas 
a) ∫(𝑥4 + 1) 𝑑𝑥 =
𝑥5
5
+ 𝑥 + 𝐶 
b) ∫(−4𝑥3 + 6𝑥5) 𝑑𝑥 = −𝑥4 + 𝑥6 + 𝐶 
c) ∫(cos 𝑥 + 𝑒𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑒𝑥 + 𝐶 
d) ∫(𝑥 + 𝑒𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+ 𝑒𝑥 + 𝐶 
e) ∫(9𝑥2 + 5 + 𝑒𝑥) 𝑑𝑥 = 3𝑥3 + 5𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝐶 
f) ∫(ln 6 . 6𝑥 + 𝑒𝑥) 𝑑𝑥 = 6𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝐶 
g) ∫(6𝑥 + 𝑒𝑥) 𝑑𝑥 =
6𝑥
ln 6
 + 𝑒𝑥 + 𝐶 
h) ∫ (𝑥2 −
1
7
𝑥 + 4) 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
−
𝑥2
14
+ 4𝑥 + 𝐶 
i) ∫(𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
−
𝑥3
3
+
𝑥2
2
+ 𝑥 + 𝐶 
j) ∫ (
1
8
𝑥3 −
1
5
𝑥2 + 10) 𝑑𝑥 =
𝑥4
32
−
𝑥3
15
+ 10𝑥 + 𝐶 
k) ∫ (𝑥5 −
3
4
𝑥2 + 2) 𝑑𝑥 =
𝑥6
6
−
𝑥3
4
+ 2𝑥 + 𝐶 
l) ∫(−4 + 𝑥3 + 𝑥4) 𝑑𝑥 = −4𝑥 +
𝑥4
4
+
𝑥5
5
+ 𝐶 
m) ∫ (
𝑥3−2𝑥2+1
5
) 𝑑𝑥 = 
(3𝑥4−8𝑥3+12𝑥)
60
+ 𝐶 
n) ∫ (
1
7
𝑥7 −
3
4 
) 𝑑𝑥 =
𝑥8
56
−
3
4
𝑥 + 𝐶 
o) ∫ (
cos 𝑥 − sen 𝑥
5
) 𝑑𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥+cos 𝑥
5
+ 𝐶 
p) ∫ (𝑥5 +
1
𝑥2
) 𝑑𝑥 = 
𝑥6
6
−
1
𝑥
+ 𝐶 
q) ∫ (𝑥4 +
1
𝑥
) 𝑑𝑥 =
𝑥5
5
+ ln |𝑥| + 𝐶 
r) ∫ (4𝑥3 + 𝑥 +
1
𝑥4
) 𝑑𝑥 = 𝑥4 +
𝑥2
2
−
1
3𝑥3
+ 𝐶 
s) ∫ (12𝑥3 +
1
𝑥3
) 𝑑𝑥 = 3𝑥4 −
1
2𝑥2
+ 𝐶 
t) ∫ (2 −
1
𝑥5
+ √𝑥
3
) 𝑑𝑥 = 2𝑥 +
1
4𝑥4
 +
3
4
√𝑥4 
3
+ 𝐶 
 
2 Cálculo II 
 
u) ∫ (8√𝑥
3
+
2
3
√𝑥) 𝑑𝑥 = 6√𝑥4 
3
+
4
9
 √𝑥3 + 𝐶 
v) ∫ (
𝑥2+ 4𝑥
𝑥
) 𝑑𝑥 =
𝑥2+8𝑥
2
+ 𝐶 
w) ∫ (
4𝑥4+ 𝑥𝑒𝑥+𝑥
𝑥
) 𝑑𝑥 = 𝑥4 + 𝑒𝑥 + 𝑥 + 𝐶 
x) ∫ (
7𝑥8+ 𝑥2.𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2
) 𝑑𝑥 = 𝑥7 − cos(𝑥) + 𝐶 
y) ∫ (
cos 𝑥 + 1
2
) 𝑑𝑥 =
sen(𝑥)+𝑥
2
+ 𝐶 
z) ∫ (
𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1
𝑥2
) 𝑑𝑥 = 
𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)+1
𝑥
+ 𝐶 
 
2) Problemas: 
Texto para as questões: a e b. 
A função Custo Marginal C’ e a função Receita Marginal R’ são as derivadas primeiras da função Custo Total C 
e da função Receita Total R, respectivamente. Ao determinarmos a função C de C’, a constante arbitrária pode ser 
calculada se conhecermos o custo fixo (isto é, o custo quando nenhuma unidade é produzida) ou o custo de 
produção de um número específico de unidades de um produto. Como em geral se verifica que a receita total é zero 
quando o número de peças produzidas é zero, este fato pode ser usado para se calcular a constante arbitrária, ao se 
obter R de R’. 
 
a) A função C’ é dada por 𝐶’(𝑥) = 4𝑥 − 8, onde C(x) é o custo total da produção de x unidades. Se o 
custo de produção de 5 unidades é de R$20,00, ache a função custo total. 
𝐶(𝑥) = ∫(4𝑥 − 8) 𝑑𝑥 = 2𝑥2 − 8𝑥 + 𝑘 
𝐶(5) = 20 ⇒ 𝑘 = 10 
𝐶(𝑥) = 2𝑥2 − 8𝑥 + 10 
 
b) Se a receita marginal é dada por 𝑅’(𝑥) = 27 − 12𝑥 + 𝑥2, ache a função receita total. 
𝑅(𝑥) = ∫(27 − 12𝑥 + 𝑥2) 𝑑𝑥 = 27𝑥 − 6𝑥2 +
𝑥3
3
+ 𝑘 
𝑅(0) = 0 ⇒ 𝑘 = 0 
𝑅(𝑥) = 27𝑥 − 6𝑥2 +
𝑥3
3