Limites e Continuidade

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Limites e Continuidade de Funçoes Reais de uma Variável Real
Cálculo Diferencial e Integral I
F́ısica EaD
Marcos Roberto Teixeira Primo
Universidade Estadual de Maringá
Quinta Atividade
Marcos Roberto Teixeira Primo Cálculo Diferencial e Integral I F́ısica EaD
Limites e Continuidade de Funçoes Reais de uma Variável Real Exerćıcios
1. Limites e Continuidade de Funçoes Reais de uma Variável Real.
Neste caṕıtulo vamos introduzir o conceito de limite para funções feais
de uma fariável Real, estudar suas principais propriedades, calcular, com
aux́ılio de propriedades, o limites de algumas funções e usar o conceito de
limite para estudar a classe de funções cont́ınuas.
Exerćıcios.
Neste arquivo estão os exerćıcios sobre o conteúdo da quarta semana
que devem ser resolvidos e entregue até segunda-feira, 07/08/2023. Este
exerćıcios serão resolvidos na webaula de 08/08/2023.
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Limites e Continuidade de Funçoes Reais de uma Variável Real Exerćıcios
1.o Exerćıcio. Calcule os limites, indicando todo o processo.
1 lim
x→0
(sen 2x)3
x3
;
2 lim
x→0
(sen 2x)
4x
;
3 lim
x→π+
(sen x)
x − π ;
4 lim
x→0
1− cos x
sen x
;
5 lim
x→0
1− cos x
x2
;
6 lim
x→+∞
(1 +
1
4x
)4x+10;
7 lim
x→2
x2 − 5
(x − 2)2
.
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Limites e Continuidade de Funçoes Reais de uma Variável Real Exerćıcios
Solução: Para o item 1 vamos usar o primeiro limite fundamental. Temos
lim
x→0
(sen 2x)3
x3
= lim
x→0
23
23
(sen 2x)3
x3
= 23 lim
x→0
(sen 2x)3
23x3
= 8 lim
x→0
(sen 2x)3
(2x)3
.
Fazendo a mudança de variáveis u = 2x , temos que
x → 0 ⇐⇒ u → 0.
Logo,
lim
x→0
(sen 2x)3
x3
= 8 lim
x→0
(sen 2x)3
(2x)3
= 8 lim
u→0
(sen u)3
(u)3
= 8( lim
u→0
sen u
u
)3
= 8 (13) = 8.
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Para o item 2 vamos usar o primeiro limite fundamental. Temos
lim
x→0
sen 2x
4x
= lim
x→0
1
2
sen 2x
2x
=
1
2
lim
x→0
sen 2x
2x
=
1
2
lim
u→0
sen u
u
=
1
2
1 =
1
2
.
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Para o item 3 vamos usar o primeiro limite fundamental. Fazendo a mudança
de variáveis u = x − π, ou seja, x = u + π, temos
x → π+ ⇐⇒ u → 0+
e, portanto, obtemos que
lim
x→π+
(sen x)
x − π = lim
u→0+
sen (u + π)
u
= lim
u→0+
sen (u + π)
u
= lim
u→0+
sen u cosπ + senπ cos u
u
= lim
u→0+
sen u(−1) + 0 cos u
u
= lim
u→0+
− sen u
u
= −1.
= − lim
u→0+
sen u
u
= −1.
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Para o item 4 observemos primeiro que para x 6= temos
1− cos x
sen x
=
x
x
1− cos x
sen x
=
1− cos x
x
x
sen x
=
1− cos x
x
1
sen x
x
.
Pelo primeiro limite fundamental
lim
x→0
sen x
x
= 1.
Logo,
lim
x→0
1
sen x
x
=
1
1
= 1.
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Para calcularmos o limite
lim
x→0
1− cos x
x
a idéia é fazer aparecer sen x para utilizarmos o primeiro limite fundamental.
Para todo x 6= 0 temos
1− cos x
x
=
1− cos x
x
1 + cos x
1 + cos x
=
(1− cos x)(1 + cos x)
x(1 + cos x)
=
1− (cos x)2
x(1 + cos x)
=
(sen x)2
x(1 + cos x)
=
sen x
1
sen x
x
1
(1 + cos x)
.
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Logo,
lim
x→0
1− cos x
x
= lim
x→0
(
sen x
1
(sen x)
x
1
(1 + cos x)
)
= lim
x→0
sen x
1
lim
x→0
(sen x)
x
lim
x→0
1
(1 + cos x)
=
0
1
1
1
1 + 0
= 0.
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Para o item 5, observemos que
lim
x→0
1− cos x = 1− cos 0 = 1− 1 = 0 e lim
x→0
x2 = 02 = 0.
A idéia é fazer aparecer sen x . Para isso, notemos que para todo x 6= 0 temos
1− cos x
x2
=
1− cos x
x2
1 + cos x
1 + cos x
=
(1− cos x)(1 + cos x)
x2(1 + cos x)
=
1− (cos x)2
x2(1 + cos x)
=
(sen x)2
x2(1 + cos x)
=
(sen x)2
x2
1
(1 + cos x)
.
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Logo,
lim
x→0
1− cos x
x2
= lim
x→0
(sen x)2
x2
1
(1 + cos x)
= lim
x→0
(sen x)2
x2
lim
x→0
1
(1 + cos x)
= lim
x→0
(
sen x
x
)2 lim
x→0
1
(1 + cos x)
= 1 1
1
1 + cos 0
=
1
2
.
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Para o item 6, observemos inicialmente que
(1 +
1
4x
)4x+10 = (1 +
1
4x
)4x (1 +
1
4x
)10,
para todo x 6= 0.
Fazendo a seguinte mudança de variável
s = 4x ⇐⇒ x =
s
4
temos que
x → +∞⇐⇒ s → +∞.
Logo,
lim
x→+∞
(1 +
1
4x
)4x = lim
s→+∞
(1 +
1
s
)s = e
e também
lim
x→+∞
(1 +
1
4x
)10 = 110 = 1.
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Portanto,
lim
x→+∞
(1 +
1
4x
)4x+10 = lim
x→+∞
(1 +
1
4x
)4x (1 +
1
4x
)10
= lim
x→+∞
(1 +
1
4x
)4x lim
x→+∞
(1 +
1
4x
)10
= e 1
= e.
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Para o item 7 observemos que
lim
x→2
x2 − 5 = −1
e
lim
x→2
(x − 2)2 = 0 e (x − 2)2 > 0, para todo x 6= 2.
Logo,
lim
x→2
x2 − 5
(x − 2)2
= −∞,
completando o item [1]. �
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2.o Exerćıcio. Sabendo que
1 |f (x)− 1| ≤ 4(x − 1)2, então calcule o limite lim
x→1+
f (x);
2 f (x) = cos x , então calcule o limite lim
x→∞
f (x)
x
.
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Solução: Para o item (1), observemos que
|f (x)− 1| ≤ 4(x − 1)2 ⇐⇒ −4(x − 1)2 ≤ f (x)− 1 ≤ 4(x − 1)2
⇐⇒ −4(x − 1)2 + 1 ≤ f (x) ≤ 4(x − 1)2 + 1,
para todo x ∈ R.
Mas,
lim
x→1+
−4(x − 1)2 + 1 = −4(1− 1)2 + 1 = 1
e
lim
x→1+
4(x − 1)2 + 1 = 4(1− 1)2 + 1 = 1.
Logo, o Teorema do Confronto implica que
lim
x→1+
f (x) = 1.
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Para o item (2), observemos que para todo x ≥ 0 >
−1 ≤ cos x ≤ 1.
Logo, para todo x > 0, temos que
(
1
x
)(−1) ≤ (
1
x
) cos x ≤ (
1
x
)(1),
ou seja,
− 1
x
≤ cos x
x
≤ 1
x
,
para todo x > 0.
Mas,
lim
x→+∞
− 1
x
= 0 = lim
x→+∞
1
x
.
Logo, o Teorema do Confronto implica que
lim
x→+∞
cos x
x
= 0,
completando o item [2]. �
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3.o Exerćıcio.
Seja h : R→ R definida por
h(x) =

x + a, se x < −3,√
9− x2, se −3 ≤ x ≤ 3,
b − x , se x > 3.
Determine os valores das constantes a e b para que a função h seja cont́ınua.
Esboce então o gráfico desta função para os valores encontrados.
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Solução: Observemos que uma função f é cont́ınua em um determinado
x0 ∈ D(f ) se, e somente se, o limites laterais em x0 existem e são iguais, isto é,
lim
x→x+
0
f (x) =lim
x→x−0
f (x) = f (x0).
Como f1(x) = x + a e f3(x) = b − x são funções cont́ınuas para todo x ∈ R e
f2(x) =
√
9− x2 é cont́ınua para todo −3 ≤ x ≤ 3. Para f ser cońınua
devemos ter que
lim
x→−3−
f (x) = lim
x→−3+
f (x)
e
lim
x→3−
f (x) = lim
x→3+
f (x).
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Mas
lim
x→−3−
f (x) = lim
x→−3−
x + a = −3 + a,
lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3−
√
9− x2 =
√
9− (−3)2 =
√
0 = 0.
Logo para f ser cont́ınua em x0 = −3 devemos ter que
−3 + a = 0,
ou seja, devemos ter que a = 3.
lim
x→3−
f (x) = lim
x→3−
√
9− x2 =
√
9− (3)2 =
√
0 = 0.
lim
x→3+
f (x) = lim
x→3+
b − x = b − 3.
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Logo para f ser cont́ınua em x0 = 3 devemos ter que
0 = b − 3,
ou seja, devemos ter que b = 3.
Assim f : R→ R é dada por
f (x) =

x + 3, se x < −3,√
9− x2, se −3 ≤ x ≤ 3,
3− x , se x > 3.
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Graficamente temos
Figure: Gráfico de f
Completamos assim o exerćıcio.
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