Conjunto dos números primos, MDC e MMC - Marcelo Esteves

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CONJUNTO DOS NÚMEROS 
PRIMOS, MMC E MDC
Números primos
■ Os números primos são os números naturais que podem ser divididos por apenas
dois fatores: o número um e ele mesmo.
– O número 5 tem apenas dois divisores: o número um e ele mesmo. Portanto,
ele é um número primo.
– O número 6 tem quatro divisores: os números um, dois, três e ele mesmo.
Dessa forma, ele não pode ser considerado um número primo, mas sim um
número composto.
– O número 47 tem apenas dois divisores: o número um e ele mesmo. Como
resultado, ele é considerado um número primo.
– O número 80 tem oito divisores: os números um, dois, quatro, cinco, oito, dez,
vinte, quarenta e ele mesmo. Logo, ele é um número composto.
Números primos
Fatoração de um número 
■ A fatoração consiste na representação em números primos, que são chamados de
fatores. Por exemplo, 2 x 2 é a forma fatorada de 4.
■ A forma fatorada de um número é obtida seguindo a sequência:
– Inicia-se com a divisão pelo menor número primo possível;
– O quociente da divisão anterior também é dividido pelo menor número primo
possível;
– Repete-se a divisão até que o resultado seja o número 1.
■ Exemplo: fatoração do número 40.
■ O mínimo múltiplo comum (MMC) corresponde ao menor número inteiro positivo,
diferente de zero, que é múltiplo ao mesmo tempo de dois ou mais números.
■ Exemplo: MMC de 2 e 3 será 6. Note que o menor múltiplo em comum é o número
6. Portanto, dizemos que o 6 é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 2 e 3.
■ Essa forma de encontrar o MMC é bem direta, mas quando temos números maiores
ou mais de dois números, não é muito prática.
■ Para essas situações, o melhor é usar o método da fatoração, ou seja, decompor os
números em fatores primos.
MMC (Mínimo Múltiplo Comum) 
Cálculo do MMC
Exemplos de MMC
■ Calcule o MMC de 12 e 20.
■ Calcule o MMC de 14 e 35.
■ Calcule o MMC de 18 e 99.
Mínimo Múltiplo Comum e Frações
■ O mínimo múltiplo comum (MMC) é também muito utilizado em operações com
frações. Sabemos que para somar ou subtrair frações é necessário que os
denominadores sejam iguais.
■ Assim, calculamos o MMC entre os denominadores, e este passará a ser o novo
denominador das frações.
■ Exemplo:
2
5
+
2
6
= 
Exemplo
■ Numa sala de aula:
– 85 alunos jogam basquete;
– 75 jogam futebol;
– 17 praticam duas atividades: basquete e futebol.
■ Quantos alunos foram pesquisados, sabendo-se que todos optaram pelo menos
por um dos dois esportes?
Propriedades do MMC 
■ Entre dois números primos, o MMC será o produto entre eles.
■ Entre dois números em que o maior é divisível pelo menor, o MMC será o maior
deles.
■ Ao multiplicar ou dividir dois números por um outro diferente de zero, o MMC
aparece multiplicado ou dividido por esse outro.
■ Ao dividir o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o
resultado obtido é igual ao produto de dois números primos entre si.
■ Ao multiplicar o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre
eles, o resultado obtido é o produto desses números.
MDC (MÁXIMO DIVISOR COMUM)
■ Dois números naturais sempre têm divisores comuns.
■ Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3 e 6.
■ Entre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18
e indicamos MDC (12, 18) = 6
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado 
de máximo divisor comum desses números. Usamos a 
abreviação m.d.c.
MDC (MÁXIMO DIVISOR COMUM)
■ O máximo divisor comum é encontrado quando multiplicamos os fatores que
dividem simultaneamente os números fatorados.
■ Na fatoração de 40 e 60, podemos perceber que o número 2 foi capaz de dividir
duas vezes o quociente da divisão e o número 5 uma vez.
Portanto, o MDC de 40 e 60 é: 2² x 5 = 20.