Exercícios de Análise Combinatória e Probabilidade

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ATIVIDADE – AVALIATIVA 1/aula 1
CURSO: Licenciatura em Matemática 
DISCIPLINA: Tópicos Avançados 
CARGA HORÁRIA: 80h
Prof. M.e: Ricardo Bonfim Cruz
NOME: NAIARA FERREIRA MATOSO RGM: 073.198
Análise combinatória e Teoria das probabilidades
Exercícios
1) Quantos números de algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos e ?
Possibilidades de Escolha; (1 ,2, 3, 4, 5) → 5 Algarismos
Vamos levar em consideração os pontilhados acima e chama-los de "casas decimais".
Essas casas decimais se classificam da DIREITA para esquerda da seguinte maneira: UNIDADEs, DEZENAs, CENTENAs.
Possibilidades para casa das CENTENAS; (1 ,2, 3, 4, 5) → 5 Algarismos
Possibilidades para casa das DEZENAS; (1, 3, 4, 5) → 4 Algarismos
Possibilidades para casa das UNIDADES; (1, 3, 5) → 3 Algarismos
Pelo principio Multiplicativo da Contagem:
5×4×3 = 60 Números
2) Numa eleição de uma escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?
3) Calcule:
	a) 
	b) 
4) Quantas palavras de duas letras distintas podem ser formadas com as vogais de nosso alfabeto?
Sabemos que o nosso alfabeto possui 5 vogais : ,
Neste caso, estamos trabalhando com Arranjos na área de Análise combinatória da matemática, pois, a ordem dos elementos importam ( Já que ele forma outra palavra), ou seja: , então temos que :
, ou seja, estamos pegando os 5 elementos de 2 em 2, teremos que :
, podemos cancelar os termos fatoriais iguais, logo : 
Portanto podemos formar 20 palavras de duas letras distintas com as vogais de nosso alfabeto.
5) Calcule o valor das expressões:
	a) 
	b) 
6) Quantos são os anagramas das palavras:
	a) CAFÉ
	b) BRASIL
Cafe
A fórmula de um anagrama é: Pn= n! 
n= elementos 
n!= fatorial 
Anagrama é um caso particular de "arranjos" 
è uma troca de letras, independente se formam ou não uma palavra 
Vamos ! 
café tem 4 letras 
P4 = 4!=4 x 3 x 2 x 1 = 24 
Brasil 
(6 . 5) . 4 . 3 . 2 . 1
30 . 4 = 120
120 . 3 = 360
360 . 2 = 720
= 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
= 720
7) Quantos números de algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos e ?
8) Encontre quantas maneiras podem ser dispostas damas e cavalheiros, numa fila, de forma que não fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas.
9) Calcule .
[ Cn , p = n! / p! ( n! - p! ) ]
C6 , 3 = 6! / 3! ( 6! - 3! ) = C6 , 3 = 6! / 3! . 3! = [ C6 , 3 = 20 ]
C4 , 1 = 4! / 1! ( 4! - 1! ) = C4 , 1 = 4! / 1! . 3! = [ C4 , 1 = 4 ]
C5 , 4 = 5! / 4! ( 5! - 4! ) = C5 , 4 = 5! / 4! . 1! = [ C5 , 4 = 5 ]
C11 , 1 = 11! / 1! ( 11! -1 ) = C11 , 1 = 11! / 1! . 10! = [ C11 , 1 = 11]
C6 , 3 / C4 , 1 + C5 , 4 + C11 , 1
20 / 4 + + 11
20 / 20 = 1
10) Resolva as equações:
	a) 
	b) 
11) Calcule o valor de na equação 
12) Quantas comissões com membros podemos formar com alunos?
Se temos 10 alunos disponíveis para serem articulados em uma comissão de 6 membros, podemos representar a situação da seguinte forma ilustrada:
MEMBRO 1 - 10 possibilidades
MEMBRO 2 - 9 possibilidades
MEMBRO 3 - 8 possibilidades
MEMBRO 4 - 7 possibilidades
MEMBRO 5 - 6 possibilidades
MEMBRO 6 - 5 possibilidades
10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 151.200
Como esses seis membros podem inverter de ordem entre si, não alterando as pessoas que o compõem, dividimos esse valor pelo fatorial do número de membros na comissão, ou seja, 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
151.200/720 = 210 comissões diferentes.
13) De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão, dispondo de 8 jogadores? Sabendo que um time de futebol de salão é composto por 5 jogadores.
8 jogadores , onde 5 são titulares ( 4 na linha e 1 no gol ). Considerando que todos os jogadores podem assumir o papel de goleiro, é só fazer combinação simples de 8 e 5. 
C 8,5 = 8! /5! (8 -5)! 
C 8,5 = 8.7.6.5! / 5! 3! 
C 8,5 = 56 maneiras
14) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:
	a) um número divisível por 2
	b) um número menos que 5
	c) um número maior que 6
15) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja menor que ? 
16) De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que uma das cartas seja:
	a) uma dama
a)
Casos favoráveis = 4
Casos possíveis = 52
Probabilidade = Casos favoráveis / Casos possíveis 
P = 4/52 = 1/13
b)
Casos favoráveis = 1
Casos possíveis = 52
P = 1/52
c)
Casos favoráveis = 13
Casos possíveis = 52
P = 13/52 = 1/4
	b) uma dama de paus
	c) uma carta de ouros
17) Considere o lançamento de dois dados. Determine:
	a) a probabilidade de se obter um total de 7 pontos.
	b) b) A probabilidade de não se obter um total de 7 pontos.
18) Seja o evento: retirada de uma carta de paus de um baralho de cartas. Calcule e .
1° Calculamos a probabilidade de ser paus:
São 13 cartas de paus em 52 cartas
P(A) = 13/52 = 1/4 = 0,25 = 25%
2° Evento complementar, todos os outros eventos possíveis:
Tirando as cartas de paus, sobram 39 cartas.
P(Ã) = 39/52 = 3/4 = 0,75 = 75%
19) Uma urna contém bolas brancas e bolas pretas. Tiramos, sucessivamente, 2 bolas. Determine a probabilidade de: 
	a) as bolas terem a mesma cor.
	b) b) as bolas terem cores diferentes.
20) Uma urna contém 40 cartões numerados de a Se retirarmos ao acaso um cartão dessa urna, qual a probabilidade de o número escrito no cartão ser um múltiplo de ou múltiplo de ?
Possibilidades totais = 40.
De 1 a 40:
Multiplos de 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39.
Multiplos de 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.
Lembrando que os multiplos repetidos devem ser contados apenas 1 vez, temos 20 multiplos de 3 ou 4. São vinte possibilidades.
Probabilidade = possibilidades pedidas/possibilidades totais.
P = 20/40
20 : 40 = 0,5 x 100 = 50%
21) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja ou ?
Respostas:
1) 
2) 630
3a) 3b) 
4) 
5a) 5b) 
6a) 6b) 
7) 
8) 
9) 
10a) 10b) 
11) 
12) 
13) 
14a) 14b) 14c) 
15) 
16a) 16b) 16c) 
17a) 17b) 
18) 
19a) 19b) 
20) 
21)