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Caro aluno Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos de aula e 107 livros, totali- zando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A seguir, apresentamos cada seção: De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desen- volvida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo o território nacional. INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada co- leção tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolu- ção das questões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, completos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas que complementam as explicações dadas em sala de aula. Quadros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno que vai se dedicar à rotina intensa de estudos. TEORIA No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cui- dadosa seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é encontrado em subcategorias que fa- cilitam o aprofundamento nos temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até sugestões de aplicati- vos que facilitam os estudos, com conteúdos essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais o conhecimento do nosso aluno. MULTIMÍDIA Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é elaborada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não exigem mais dos candidatos apenas o puro co- nhecimento dos conteúdos de cada área, de cada disciplina. Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abran- gem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Biologia e Química, História e Geografia, Biologia e Ma- temática, entre outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizando temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma grande engrenagem no mundo em que ele vive. CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu distanciamento da realidade cotidiana, o que difi- culta a compreensão de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas para além da superficial me- morização de fórmulas ou regras. Para evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida a seção “Vi- venciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma preo- cupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em seu dia a dia. VIVENCIANDO Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fa- zem parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, deparamos-nos com modelos de exercícios re- solvidos e comentados, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil compreensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer momento, as explica- ções dadas em sala de aula. APLICAÇÃO DO CONTEÚDO Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desem- penho ao fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê-las com tranquilidade. ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, criamos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aqueles que aprendem visualmente os conte- údos e processos por meio de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas. Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organização dos estudos e até a resolução dos exercícios. DIAGRAMA DE IDEIAS © Hexag SiStema de enSino, 2018 Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2023 Todos os direitos reservados. Coordenador-geral Murilo de Almeida Gonçalves reSponSabilidade editorial, programação viSual, reviSão e peSquiSa iConográfiCa Hexag Editora editoração eletrôniCa Letícia de Brito Matheus Franco da Silveira projeto gráfiCo e Capa Raphael de Souza Motta imagenS Freepik (https://www.freepik.com) Shutterstock (https://www.shutterstock.com) Pixabay (https://www.pixabay.com) iSbn 978-85-9542-248-3 Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo o ensino. Caso exista algum texto a respeito do qual seja necessária a in- clusão de informação adicional, ficamos à disposição para o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares dos direitos sobre as imagens pub- licadas e estamos à disposição para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições. O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra é usado apenas para fins didáticos, não rep- resentando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora. 2023 Todos os direitos reservados para Hexag Sistema de Ensino. Rua Luís Góis, 853 – Mirandópolis – São Paulo – SP CEP: 04043-300 Telefone: (11) 3259-5005 www.hexag.com.br contato@hexag.com.br MATEMÁTICA ÁLGEBRA 5 AULAS 1 E 2: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 007 AULAS 3 E 4: EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E PROBLEMAS CLÁSSICOS 015 AULAS 5 E 6: EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 023 AULAS 7 E 8: TEORIA DOS CONJUNTOS 028 TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA 35 AULAS 1 E 2: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 037 AULAS 3 E 4: PRODUTOS NOTÁVEIS 042 AULAS 5 E 6: FATORAÇÃO 045 AULAS 7 E 8: CONJUNTOS NUMÉRICOS 050 GEOMETRIA PLANA 57 AULAS 1 E 2: INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA 059 AULAS 3 E 4: ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO E ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA 065 AULAS 5 E 6: RAZÃO PROPORCIONAL E TEOREMAS DE TALES E DA BISSETRIZ INTERNA 073 AULAS 7 E 8: PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 078 SUMÁRIO Co m pe tê n Ci a 1 Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais. H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos. Co m pe tê n Ci a 2 Utilizar oconhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano. Co m pe tê n Ci a 3 Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida. H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano. H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente. H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas. Co m pe tê n Ci a 4 Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas. H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas. Co m pe tê n Ci a 5 Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos. Co m pe tê n Ci a 6 Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extra- polação, interpolação e interpretação. H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos. Co m pe tê n Ci a 7 Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determi- nação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. H27 Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade. MATRIZ DE REFERÊNCIA DO ENEM ÁLGEBRA MATEMÁTICA LIVRO TEÓRICO 6 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS O Enem exigirá dos candidatos conceitos básicos de potenciação e radiciação. En- contraremos também situações problemas que precisam de equações do 1.º e 2.º graus para serem resolvidas. Potenciação e radiciação, por serem assun- tos básicos, dificilmente serão cobrados diretamente. Já para equações do 1.º e 2.º graus, podemos encontrar alguma questão, na primeira fase, exigindo uma leitura mais atenta. Potenciação e radiciação, são cobrados em questões de variações de grandezas físicas. Teoria dos conjuntos é cobrada com descri- ção no enunciado. Equações são assuntos básicos que necessitam de outros tópicos para que tenham uma aplicação. Esta prova possui questões dissertativas com alto grau de dificuldade. Portanto, de- vemos somar os conteúdos deste livro com os próximos para resolver os exercícios. Encontraremos propriedades de potencia- ção e radiciação em questões tanto de Ma- temática como de Física e Química. Não é difícil encontrar alguma questão em ambas as fases da Vunesp, exigindo do candidato a produção de equações do 1.º e 2.º graus. Dentro dos temas abordados neste livro, os equacionamentos do 1.º e 2.º graus possuem maior incidência nesse vestibular. Esta prova exigirá de seu candidato alta habilidade em potenciação. A leitura de um texto aliada a um raciocínio lógico-mate- mático será fundamental para resolver pro- blemas clássicos de equações do 1.º grau. A PUC-Camp exige do candidato uma firme análise das propriedades básicas de potenciação e radiciação, quando explora questões de exponenciais e logaritmos. O vestibular da Santa Casa aborda as propriedades de potenciação e radiciação, dentro dos exercícios de Exatas. Realizar equacionamentos do 1.º ou 2.º graus é imprescindível nas questões objetivas. Apresenta questões bem elaboradas, que alinham os conteúdos deste livro com os próximos e outras áreas de Exatas. A UFPR possui um vestibular com questões dissertativas e objetivas, com alto grau de dificuldade. O candidato deve resolver com proeza questões de equação do 1.º grau. Esse vestibular exige pontos específicos do candidato, pois possui uma quantidade menor de questões. Assim, a resolução de equações do 1.º e 2.º graus e os outros temas abordados neste livro são funda- mentais. Tanto no exame de qualificação, quanto no exame discursivo, ocorrem questões de equações do 1.º e 2.º graus. Conceitos de potenciação e radiciação estarão, em gran- de parte, das questões de Exatas. O processo seletivo da Unigranrio possui questões mais diretas, diferentemente do Enem. Assim, a álgebra possui grande incidência nessa prova e o candidato deve estar muito bem esclarecido em relação a todos os temas. O processo seletivo para Medicina da Sou- za Marques possui questões contextualiza- das, e os conteúdos abordados neste livro são essenciais para suas resoluções. MATEMÁTICA e suas tecnologias 7 V O LU M E 1 1. Potenciação 1.1. Potenciação com expoente natural Representa-se por bn, sendo b (denominado base) um número real e n (denominado expoente) um número natural maior que 2, o produto de n fatores iguais a b, o seguinte produto: bn = b ∙ b ∙ b ∙ ... ∙ b n fatores Modelo § Cálculo do valor de 25, no qual a base é um núme- ro natural: 25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32 § Cálculo do valor de (–3)3 e (–3)4, no qual a base é um número inteiro negativo: (–3)³ = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = –27 (–3)4 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = 81 Atenção: Observe que, se a base for um número real ne- gativo, e o expoente for um número natural ímpar, o re- sultado será negativo; no entanto, se o expoente for um número natural par, o resultado será positivo. § Cálculo do valor de ( 2 __ 3 ) 3, no qual a base é um núme- ro racional: ( 2 __ 3 ) 3 = ( 2 __ 3 ) ∙ ( 2 __ 3 ) ∙ ( 2 __ 3 ) = 8 ___ 27 No caso em que n < 2, deve-se definir: § b0 = 1, para b ≠ 0; § b1 = b. Algebricamente, sendo x ∈ ℝ, a potenciação pode ser es- crita da seguinte forma: x = x¹ x ∙ x = x² x ∙ x ∙ x = x³ 1.2. Potenciação com expoente inteiro negativo Dada uma base b real não nula e um expoente n ∈ ℤ, define-se: b–n = 1 __ bn Assim, quando o expoente for um número inteiro negativo, pode-se inverter a base a fim de tornar o expoente positivo e efetuar as operações como foi visto anteriormente. Modelo § 3–2 = 1 __ 32 = 1 __ 9 § ( 2 __ 5 )–2 = 1 ____ ( 2 __ 5 ) 2 = 1 ___ ( 4 ___ 25 ) = 25 ___ 4 § 10–2 = 1 ___ 102 = 1 ___ 100 = 0,01 § x–1 = 1 __ x , sendo x ∈ ℝ e não nulo 1.3. Potenciação com expoente racional Dado um número real a e um número racional m __ n , sendo m ∈ ℤ e n ∈ ℤ* (n ≠ 0), deve-se definir a potenciação de base a e expoente m __ n da seguinte forma: a = n dXXX am Como é possível observar, quando há um expoente racio- nal na forma da fração m __ n , pode-se reescrever a potên- Fonte: Youtube Introdução à potenciação multimídia: vídeo POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO COMPETÊNCIA(s) 1 e 2 HABILIDADE(s) 1, 3, 4, 7, 10 e 11 MT AULAS 1 E 2 8 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 cia como uma raiz n-ésima de am. Serão definidas as propriedades das raízes n-ésimas aritméticas no próximo capítulo. 1.4. Propriedades De modo geral, sendo a e b números reais, e m e n núme- ros inteiros, valem as seguintes propriedades: Produto de potências de mesma base Quando se tem o produto entre duas potências de mesma base, somam-se os expoentes e conserva-se a base: P1: a m ∙ an = am+n § 23 ∙ 25 = 23+5 = 28 § ( 1 __ 2 ) 5 ∙ 23 = 2–5 ∙ 23 = 2–5+3 = 2–2 = 1 __ 22 = 1 __ 4 § 16 ∙ 32 = 24 ∙ 25 = 24+5 = 29 § x2 · ( 1 __ x ) = x2 ∙ x–1 = x1 = x Quociente de potências de mesma base Quando se tem o quociente entre duas potências de mes- ma base, subtraem-se os expoentes e conserva-se a base: P2: am __ an = am–n, se a ≠ 0 § 5 7 __ 53 = 57–3 = 54 § ( 1 __ 3 ) 9 : ( 1 __ 3 ) 5 = ( 1 __ 3 ) 9–5 = ( 1 __ 3 ) 4 § x 7 __ x3 = x4 Potência de um produto A potência de um produto pode ser escrita como um pro- duto de potências: P3: (a ∙ b)m = am ∙ bm § (2 ∙ 5)³ = 2³ ∙ 5³ = 8 ∙ 125 = 1 000 § (x ∙ y)² = x² ∙ y² Potência de um quociente A potência de um quociente pode ser escrita como um quo- ciente de potências: P4: ( a __ b ) m = a m __ bm , se b ≠ 0 § ( 2 __ 3 ) 2 = 2 2 __ 32 = 4 __ 9 § ( x __ yz ) 3 = x3 ____ (yz)3 = x 3 ___ y3z3 Potência de uma potência Quando se tem uma potência em que sua base apresen- ta outra potência, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes: P5: (a m)n = am ∙ n § (52)3 = 52 ∙ 3 = 56 § (2 ∙ 32)4 = 24 ∙ (32)4 = 24 ∙ 32 ∙ 4 = 24 ∙ 38 § (x2 ∙ y5)3 = (x2)3 ∙ (y5)3 = x2 ∙ 3 · y5 ∙ 3 = x6 ∙ y15 Note que devido à propriedade comutativa da multiplica- ção, resulta que (am)n = (an)m. Atenção: Observe que (am)n ≠ amn. No caso de (am)n, a base do expoente n é am, e, no caso de amn, a base do expoente n é m, e mn é o expoente da base a. Veja um exemplo: (2²)³ = (2²) ∙ (2²) ∙ (2²) = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 22³ = 22 ∙ 2 ∙ 2 = 28 = 256 1.4.1. Resumo das propriedades Sendo a e b números reais, e m e n números inteiros, segue que: § P1: a m ∙ an = am+n § P2: am __ an = am – n, se a ≠ 0 § P3: (a ∙ b)m = am ∙ bm § P4: ( a __ b ) m = a m __ bm , se b ≠ 0 § P5: (a m)n = am ∙ n 1.5. Número na forma de potência Nas expressões numéricas em que é possível escrever to- das as potências com uma base comum, é possível utilizar as propriedades de potenciação descritas. Observe alguns exemplos utilizando a base 2: Também é possível escrever alguns números racionais na forma de uma potência com base inteira: § 0,5 = 5 ___ 10 = 1 __ 2 = 2–1 § 0,25 = 25 ___ 100 = 1 __ 4 = 2–2 § 0,125 = 125 ____ 1.000 = 1 __ 8 = 2–3 MATEMÁTICA e suas tecnologias 9 V O LU M E 1 CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS Veja como se pode simplificar o cálculo de uma expressão numérica envolvendo potências de mesma base: [ 4 ∙ ( 1 __ 8 ) –2 ∙ 163 ] –1 _____________ 0,58 ∙ ( 1 ___ 32 ) 2 Escrevendo cada fator como uma potência de base 2, segue que: [ (22) ∙ (2–3)–2 ∙ (24)3 ] –1 ________________ (2–1)8 ∙ (2–5)2 Utilizando, agora, as propriedades da potenciação, pode-se realizar as simplificações: (2 2 ∙ 26 ∙ 212)–1 ___________ 2–8 ∙ 2–10 = (2 2+6+12)–1 _______ 2–8+(–10) = (2 20)–1 _____ 2–18 = 2–20–(–18) = 2–2 = 1 __ 4 1.6. Potências e notação científica Como foi visto, potências do tipo bn podem ser utilizadas para simplificar um produto de n termos iguais a b. Quando se trata de grandezas muito grandes ou muito pequenas, podem-se utilizar potências de base 10 para representar esses números. Esse tipo de representação é denominada notação científica. Observe a fórmula da notação científica: m ∙ 10e na qual m é denominado mantissa, um número racional maior do que 1 ou igual a 1 e menor que 10, enquanto que e é denominado a ordem de grandeza, expoente da base 10. Caso deseje escrever o número 2 500 000 (dois milhões e quinhentos mil) de forma mais concisa: 2 .500. 000 = 2,5 ∙ 1.000. 000 = 2,5 ∙ 106 Imagine um grande prédio em construção, com todos os seus elementos e estruturas, fundações, vigas e tijolos. Fazendo uma analogia com a construção de um prédio, a potenciação e a radiciação são a base para a construção dos conhecimentos algébricos. Você poderá utilizar os conhecimentos aprendidos de potenciação na disciplina de Física, no uso da notação científica, e na área de Geografia, mais especificamente na área de cartografia, uma vez que trabalhar com potências facilita a mudança de escalas. 2. Radiciação Chama-se radical a raiz enésima de um número real a, sendo a um número maior ou igual a zero, quando n é um natural par; ou sendo a um número real, quando n é um natural ímpar. n √ __ a , em que a [ R+ e n [ N, com n ≥ 2, é chamado de radical. 10 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 Modelos 7 √ ____ −3 √ ___ 16 5 √ __ 2 √ ___ 1 ___ 36 O termo radical também é representado pelo símbolo √ __ 0 . 2.1. Propriedades 2.1.1. Primeira propriedade Observe um radical com índice ímpar: 3 √ ____ 125 = 5 e 125 = 53 3 √ ____ 125 = 3 √ __ 53 = 5 Agora, veja um radical com índice par: 2 √ ____ 121 = 11 e 121 = 112 2 √ ____ 121 = 2 √ ___ 112 = 11 De modo geral, vale a igualdade n √ ___ an = a, para todo a [ R+ e n [ N, com n ≥ 2. Modelos √ __ 42 = 4 6 √ __ 76 = 7 8 √ __ 78 = 7 Atenção: Essa propriedade é válida somente para a maior do que zero ou igual a zero. Caso ocorra, por exemplo, 4 √ ____ (-2)4 , a expressão não equiva- lerá a – 2, pois 4 √ ____ (-2)4 = 4 √ ___ 16 = 2. Se, porém, o índice for ímpar, a propriedade n √ __ an = a continuará válida. Veja: 3 √ ____ (-1)3 = –1 Dessa forma, para uma expressão com radicais, é preciso impor a condição de existência: § Se o índice for ímpar (n é ímpar), o radicando poderá ser qualquer número real: n √ __ xn = x, x ∈ R § Se o índice for par (n é par), o radicando deverá ser um número real não negativo: n √ __ xn = x, x ≥ 0 (condição de existência) 2.1.2. Segunda propriedade Pode-se representar o número 2 por meio de diferentes radicais: 2 = 5 √ __ 25 2 = 10 √ ___ 210 Então: 5 √ __ 25 = 10 √ ___ 210 Para obter a igualdade, é possível fazer: 10 √ ___ 210 = 10 : 2 √ ____ 210 : 2 = 5 √ __ 25 De modo geral, segue que n √ ___ am = n : p √ ___ am:p , para todo a [ R+ e n [ N, com n ≥ 2, sendo p um número diferente de zero e divisor comum de m e n. Essa propriedade comumente é usada para simplificar al- guns radicais. Modelos 8 √ __ 74 = 8 : 4 √ ____ 74 : 4 = 2 √ __ 7 10 √ ___ 32 = 10 √ __ 25 = 10 : 5 √ ____ 25 : 5 = 2 √ __ 2 2.1.3. Terceira propriedade Observe as expressões 3 √ _____ 27 ∙ 8 e 3 √ ___ 27 · 3 √ __ 8 . De modo geral, segue que: n √ ____ a ∙ b = n √ __ a · n √ __ b , para todo a [ R+, b [ R+ e n [ N, com n ≥ 2. Modelos √_____ 4 ∙ 10 = √ __ 4 ∙ √ ___ 10 4 √ _______ 1 ___ 10 ∙ 100 = 4 √ ___ 1 ___ 10 ∙ 4 √ ____ 100 2.1.4. Quarta propriedade Observe as expressões 3 √ ___ 27 ___ 8 e 3 √ ___ 27 ____ 3 √ __ 8 De modo geral, segue que n √ __ a __ b = n √ __ a ___ n √ __ b , para todo a [ R+, b [ R + * e n ∈ N, com n ≥ 2. Modelos √ ___ 30 ___ 7 = √ ___ 30 ____ √ __ 7 3 √ _____ 0,001 = 3 √ ______ 1 _____ 1.000 = 3 √ __ 1 ______ 3 √ _____ 1.000 = 1 ___ 10 MATEMÁTICA e suas tecnologias 11 V O LU M E 1 2.2. Potenciação e radiciação com radicais Veja uma potenciação com radicais: ( 5 √ __ 2 ) 4 = 5 √ __ 2 · 5 √ __ 2 · 5 √ __ 2 · 5 √ __ 2 = 5 √ _________ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 5 √ __ 24 De modo geral, para efetuar a potenciação com um ra- dical, eleva-se o radicando ao expoente dado: ( m √ __ a ) n = m √ __ an , em que a ≥ 0, m é um número natural maior que 1, e n é um número inteiro. Atenção: Repare que, se a < 0, então ( m √ __ a ) n ≠ m √ __ an . Por exem- plo, se a = −3, tem-se: 4 √ ____ ( −3)4 = 4 √ __ 34 = 3, ( 4 √ ___ −3 )4 não existe. Modelo 1 ( √ __ 5 ) 3 = √ __ 53 ( 2 3 √ __ 3 ) 5 = 25 · 3 √ __ 35 = 32 · 3 · 3 dXX 32 = 96 3 dXX 32 ( 6 dXXXXX 4 – x ) 2 = 62 · dXXXXXX (4 – x)2 = 36 · (4 – x) = 144 – 36x, com x ≤ 4 ( dXX 5 + 3 ) 2 = ( dXX 5 ) 2 + 2 · dXX 5 · 3 + 32 = 5 + 6 dXX 5 + 9 = 14 + 6 dXX 5 Para entender o procedimento da radiciação com radicais, compare as expressões: 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 2 dXX 9 = 3 e 6 dXXXX 729 = 3 Como as duas expressões são iguais a 3, então: 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 6 dXXXX 729 = 3 De modo geral, para efetuar a radiciação com radicais, po- de-se fazer m dXXX n dXX a = m · n dXX a , em que a ≥ 0 e m e n são núme- ros naturais maiores que 1. Modelo 2 3 dXXX dXX 2 = 3 · 2 dXX 2 = 6 dXX 2 dXXXXXXX 3 dXXXXX 1.000 _____ 64 = 2 · 3 dXXXXX 1.000 _____ 64 = 6 dXXXX 103 ___ 26 = 6 dXXX 103 ____ 6 dXX 26 = dXXX 10 ____ 2 2.3. Racionalização de denominadores O processo de racionalização do denominador consiste em multiplicar a fração dada pelo número 1, escrito como fra- ção, de modo que o produto nos denominadores seja um número racional. 1 ___ dXX 2 = 1 ___ dXX 2 · 1 = 1 ___ dXX 2 · dXX 2 ___ dXX 2 = 1 · dXX 2 ______ dXX 2 · dXX 2 = dXX 2 ____ dXX 22 = dXX 2 ___ 2 Observe que, depois da racionalização, escreve-se de outra forma o número dado, agora com denominador racional. Calcular dXX 2 ___ 2 é mais simples do que calcular 1 ___ dXX 2 . Acompanhe a racionalização dos denominadores de alguns números agrupados nas situações a seguir: Modelo 1 § Racionalização do denominador de 2 ____ 3 dXX 8 . 2 ____ 3 dXX 8 = 2 ____ 3 dXX 8 · dXX 8 ___ dXX 8 = 2 √ __ 8 ____ 3 ∙ 8 = √ __ 8 ___ 12 § Racionalização do denominador de 3 ___ 4 dXX 3 . 3 ___ 4 dXX 3 = 3 ___ 4 dXX 3 · 4 dXX 33 ___ 4 dXX 33 = 3 4 dXX 33 ____ 4 dXX 34 = 3 4 dXX 33 ____ 3 = 4 dXX 33 Modelo 2 § Racionalização do denominador de 3 ______ dXX 3 + 1 . Como nesse denominador há uma adição em que pelo me- nos uma parcela é um número irracional, utiliza-se o produto da soma pela diferença para racionalizar o denominador. 3 § Racionalização do denominador de 2 _______ dXX 2 + dXX 5 . Nesse denominador, há uma adição de dois números irracionais. Para racionalizá-lo, multiplica-se a fração por: Racionalização do denominador de dXX 6 ______ 4 – dXX 5 . Fonte: Youtube Uma Mente Brilhante multimídia: vídeo 12 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 O produto da soma pela diferença de a e b é: (a + b) · (a – b) = a2 – b2 2.4. Potência com expoente fracionário O expoente de uma potência pode ser um número em for- ma de fração. Observe o exemplo a seguir: 51/2 = ( √ ___ 51/2 )2 : 1.ª propriedade dos radicais ( √ ___ 51/2 )2 = dXXX 51/2 · dXXX 51/2 = dXXXXXX 51/2 + 1/2 : propriedade do produto de potências de mesma base dXXXXXX 51/2 + 1/2 = dXX 51 = dXX 5 Portanto: 51/2 = dXX 5 . Se 51/2 = dXX 5 , então 53/2 = (51/2)3 = ( dXX 5 ) 3 = dXX 53 Da mesma forma, é possível escrever outras potências de expoente fracionário como um radical. 25/3 = 3 dXX 25 [ 1 __ 8 ] 2/3 = 3 dXXXX [ 1 __ 8 ] 2 = 3 √ ____ ( 1 __ 23 ) 2 = 3 dXXX 1 __ 26 = 1 __ 4 (0,3)2/7 = 7 dXXXXX (0,3)2 = 7 √ ____ 0,09 De modo geral, pode-se dizer que am/n = n √ __ am para todo a [ R+, m [ Z e n [ N, com n ≥ 2. Aplicação do conteúdo 1. Examine as afirmações a seguir: I. A subtração ( 2 √ __ 8 – 3 √ __ 2 ) 3 equivale a 2 √ __ 2 . II. 5 √ __ 8 é maior do que 11 √ __ 2 . III. (6 √ __ 3 )2 é igual a 108. As afirmativas corretas são: a) I e II apenas. b) I e III apenas. c) II e III apenas. d) I, II e III. Resolução: I. Correta. Desenvolvendo a subtração: (2 √ __ 8 – 3 √ __ 2 )3 = (2 √ __ 23 – 3 √ __ 2 )3 = = (2 √ __ 22 · 2 – 3 √ __ 2 )3 = = (2 √ __ 22 · √ __ 2 – 3 √ __ 2 )3 = (4 √ __ 2 – 3 √ __ 2 )3 = = ( √ __ 2 ) 3 = 2 √ __ 2 II. Incorreta. 5 √ __ 8 = 5 √ ______ 22 ∙ 2 = 5 √ __ 22 · √ __ 2 = = 10 √ __ 2 < 11 √ __ 2 III. Correta. Tem-se: (6 √ __ 3 )2 = 36 · 3 = 108 Alternativa B 2. Analise as seguintes expressões: I. 3 √ ___ 12 ____ 2 = 3 √ __ 2 II. (2 √ __ 3 ) -1 = √ __ 3 ___ 6 III. (24) 1 __ 2 = 2 √ __ 2 A(s) alternativa(s) verdadeira(s) é(são): a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III. Resolução: I. Incorreta. 3 √ ___ 12 ____ 2 = 3 · 2 · √ __ 3 ________ 2 = 3 √ __ 3 II. Correta. (2 √ __ 3 )-1 = 1 ____ 2 √ __ 3 · √ __ 3 ___ √ __ 3 = √ __ 3 ___ 6 III. Incorreta. (24) 1 __ 2 = 2 4 __ 2 = 22 = 4 Alternativa B 3. Assinale a alternativa correta: a) √ __ 4 + √ __ 5 < 3 b) ( √ __ 3 + √ __ 2 )2 = ( √ __ 3 )2 + ( √ __ 2 ) 2 = 3 + 2 = 5 c) 9 ___ √ __ 3 = 6 √ __ 3 d) 4 ______ ( √ __ 5 − 1 ) = √ __ 5 + 1 e) √ ___ 16 = ±4 Resolução: a) Incorreta, pois √ __ 4 + √ __ 5 > 3 b) Incorreta, pois ( √ __ 3 + √ __ 2 ) 2 = = ( √ __ 3 ) 2 + 2 √ __ 3 ∙ √ __ 2 + ( √ __ 2 )2 = 5 + 2 √ __ 6 . c) Incorreta, pois 9 ___ √ __ 3 = 9 ___ √ __ 3 ∙ √ __ 3 ___ √ __ 3 = 9 √ __ 3 ____ 3 = 3 √ __ 3 . d) Correta, pois 4 ______ ( √ __ 5 – 1 ) · √ __ 5 + 1 ______ √ __ 5 + 1 = √ __ 5 + 1 . e) Incorreta, pois √ ___ 16 = 4. Alternativa D MATEMÁTICA e suas tecnologias 13 V O LU M E 1 4. Analisando os números reais, x = √ ___ 2,7... y = [ √ ____ 0,25 + (163/4)-1 ] -1 z = 3 √ ____ (23)2 – √ ________ 3 √ __ 56 · ( 5 __ 6 ) -2 é FALSO afirmar que: a) z _ y < – 3 __ 2 b) x – y < 1 __ 5 c) x + z < 0 d) x + y + z ∉ ( ℝ – ℚ) Resolução: x = √ ___ 2,7... = √ _____ 2 + 7 __ 9 = √ ___ 25 ___ 9 = 5 __ 3 y = [ √____ 0,25 + ( 4 √ ___ 163 ) -1 ] -1 ⇒ ⇒ y = ( √ __ 1 __ 4 + 4 √ _____ ( 1 ___ 16 ) 3 ) -1 ⇒ y = ( 1 __ 2 + 1 __ 8 ) -1 ⇒ y= ( 5 __ 8 ) -1⇒ y = 8 __ 5 z = 3 √ ____ (23)2 – √ ________ 3 √ __ 56 ∙ ( 5 __ 6 ) -2 = 26/3 – √ ________ 56/3 ∙ ( 6 __ 5 ) 2 ⇒ ⇒ 22 – √ _____ 52 · 36 ___ 25 = 4 – 6 = –2 a) Falso. z __ y < – 3 __ 2 : - 2 __ 8 __ 5 = –2 · 5 __ 8 = – 5 __ 4 e – 5 __ 4 > – 3 __ 2 . b) Verdadeiro. x – y < 1 __ 5 : 5 __ 3 – 8 __ 5 < 1 __ 5 = 1 ___ 15 < 1 __ 5 . c) Verdadeiro. x + z < 0 : 5 __ 3 – 2 < 0 = -- 1 __ 3 < 0. d) Verdadeiro. x + y + z ∉ (ℝ – ℚ), pois a soma de três números racionais será sempre um número racional. Alternativa A 5. O valor da expressão √ ___ 50 – √ ___ 18 + √ ___ 98 é: a) √ ____ 130 b) –5 √ __ 2 c) 9 √ __ 2 d) 5 √ ___ 13 e) 15 √ __ 2 Resolução: √ ___ 50 – √ ___ 18 – √ ___ 98 = = 5 √ __ 2 – 3 √ __ 2 – 7 √ __ 2 = = –5 √ __ 2 Alternativa B https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-alge- bra-exponents-radicals multimídia: site 14 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 DIAGRAMA DE IDEIAS POTENCIAÇÃO RADICIAÇÃO EXPOENTE (QUANTIDADE DE VEZES QUE A BASE É MULTIPLI- CADA POR ELA MESMA) BASE (NÚMERO A SER MULTIPLICADO) OPERAÇÃO INVERSA DA POTENCIAÇÃO a a• a• a• a•... •a n n VEZES (BASE) (RADICANDO) (EXPOENTE) (ÍNDICE) "RAIZ" VEM DO LATIM RADIX, QUE QUER DIZER "LADO". QUANDO ALGUÉM DIZ "RAIZ QUADRADA DE 9", ESTÁ PENSANDO EM "QUAL É O LADO DO QUADRADO DE ÁREA 9?". an 9=3 9 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 MATEMÁTICA e suas tecnologias 15 V O LU M E 1 1. Equações A primeira referência conhecida que trata das equações está relacionada ao chamado Papiro de Rhind (também conhecido como Papiro de Ahmes), um dos documentos egípcios mais antigos sobre Matemática, escrito no ano de 1650 a.C. A álgebra começa a ser pesquisada a partir do século IX, com a obra de Al-Khwarizmi (738-850 d.C), que trata do estudo das equações com uma ou mais incógnitas em uma resolução de problema. Em sua interpretação, quando é possível representar em linguagem simbólica, na forma de uma equação, o resultado é a equação como uma conse- quência da situação-problema. Al-Khwarizmi, um dos maio- res matemáticos árabes, resolvia as equações de um modo semelhante ao atual: tudo, até mesmo os números, era re- presentado por palavras. O livro Al-jabr wa’l mugãbalah tra- zia explicações minuciosas sobre a resolução de equações. Diofante, por sua vez, foi um matemático grego que viveu no século III. Ele se dedicou à álgebra e aplicou a ideia de representar um número desconhecido por uma letra; as- sim, influenciou decisivamente outros matemáticos. A equação de 1.º grau é definida como “uma sentença aberta que exprime uma igualdade entre duas expres- sões numéricas”. A palavra “equação” deriva do latim equatione, que significa “equacionar”, “igualar”. As expressões numéricas, separa- das pelo sinal de igualdade, chamam-se “membros”; cada membro é composto por “termos”; e esse termo, que multi- plica as letras, chama-se “coeficiente de termo”. Observe a seguinte igualdade: 1 + x = 3 Essa igualdade leva o nome de sentença matemática aberta ou equação, pois pode ser verdadeira ou falsa, de- pendendo do valor atribuído à variável x. Nesse caso, se o valor de x for 3, a sentença será falsa. Por outro lado, se o valor atribuído for 2, a sentença será verdadeira. Como x = 2 torna a sentença verdadeira, afirma-se que o número 2 é a raiz da equação. O conjunto dos valores que tornam uma equação verdadei- ra é chamado de conjunto solução. No exemplo dado, o conjunto solução S é: S = {2} https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/ cc-6th-equations-and-inequalities multimídia: site Modelos 1. 2x + 4 = 6, para x [ R O único valor real que torna a equação verdadeira é x = 1, logo S = {1}. 2. x² = 4, para x [ R Os valores reais que tornam a equação verdadeira são x = 2 ou x = –2, logo S = {–2, 2}. 3. 0x + 1 = 1, para x [ R Nesse caso, nota-se que independentemente do valor de x, a equação é verdadeira, logo S = R. 4. x² = –1, para x [ R Nesse caso, nota-se que não há valor real de x que torne a equação verdadeira, logo S = Ø. Para descobrir os valores que compõem o conjunto solu- ção, é possível manipular a equação utilizando algumas propriedades com o intuito de isolar a variável (incógnita) em um dos membros da equação. P1: Se um mesmo número for somado ou subtraído de ambos os membros de uma igualdade, a igualdade permanecerá verdadeira. EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E PROBLEMAS CLÁSSICOS COMPETÊNCIA(s) 5 HABILIDADE(s) 19, 21, 22 e 23 MT AULAS 3 E 4 16 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS Modelos 1. x – 4 = 10 x – 4 + 4 = 10 + 4 x = 14 Logo, S = {14} 2. 3 + x = 1 3 + x – 3 = 1 – 3 x = –2 Logo, S = {–2} P2: Se ambos os membros de uma igualdade forem multiplicados ou divididos por um mesmo número, a igualdade permanecerá verdadeira. Modelos: 1. x __ 4 = 6 x __ 4 · 4 = 6 · 4 x = 24 Logo, S = {24} 2. –2x = 6 –2x ___ –2 = 6 ___ –2 x = –3 Logo, S = {–3} A equação do primeiro grau é a mais simples das equações estudadas no Ensino Médio, mas não é menos importan- te do que as outras. As famosas fórmulas da disciplina de Física, como Q = m · c · Dq, que equaciona a quantidade de calor, e a equação horária do movimento retilíneo uniforme, s = S0 + vt, são equações do primeiro grau. Aprender a manipular as equações do primeiro grau fará com que você aumente seus horizontes tanto em Matemática quanto em Física. 2. Equações de primeiro grau Uma equação do primeiro grau pode ser representada na forma ax + b = 0, com a i 0, a partir de manipulações algébricas descritas anteriormente. Uma vez escrita nessa forma, é possível encontrar facilmente o conjunto solução subtraindo o termo independente b de ambos os membros e, em seguida, dividindo-os por a. Em uma equação de primeiro grau, ocorrem apenas ope- rações de soma, subtração, multiplicação e divisão. Assim, é possível reduzir uma equação de primeiro grau à forma ax + b = 0, realizando apenas essas quatro operações. Observe alguns exemplos de como manipular as equações com o intuito de isolar a incógnita: 1. Resolver 5(x – 3) = –2(x – 1) Deve-se aplicar a propriedade distributiva, com o objetivo de eliminar os parênteses, respeitando a regra de sinais: 5x – 15 = –2x + 2 Somando 2x em ambos os membros para isolar a incógnita: 5x – 15 + 2x = –2x + 2 + 2x ä 7x – 15 = 2 Somando 15 em ambos os membros e finalmente dividindo por 7: 7x – 15 + 15 = 2 + 15 ä 7x = 17 7x __ 7 = 17 ___ 7 à x = 17 ___ 7 Logo, S = { 17 ___ 7 } . 2. Resolver x __ 4 = 5 __ 2 Para cancelar o denominador 4 da fração x __ 4 , ambos os membros devem ser multiplicados por 4: x __ 4 · 4 = 5 __ 2 · 4 x = 20 ___ 2 = 10 Logo, S = {10}. MATEMÁTICA e suas tecnologias 17 V O LU M E 1 3. Resolver x ___ –4 = 3 __ 2 De modo semelhante ao exemplo anterior, ambos os membros da igualdade devem ser multiplicados por –4: x ___ –4 · (–4) = 3 __ 2 · (–4) x = –12 ____ 2 = –6 Logo, S = {–6}. Outra maneira de resolver equações desse tipo é realizan- do o produto cruzado: a __ b = c __ d à a · d = b · c x ___ –4 = 3 __ 2 à 2x = 3(–4) 2x = –12 à x = –12 ____ 2 = –6 4. Resolver x + 2 _____ 6 = 5 __ 3 Realizando o produto cruzado, tem-se: 3(x + 2) = 6 · 5 à 3x + 6 = 30 3x = 30 – 6 3x = 24 x = 24 ___ 3 = 8 Logo, S = {8}. 5. Resolver 12 – x ______ 3 + 1 = x __ 2 Em somas ou subtrações de frações, primeiramente é pre- ciso encontrar o mínimo múltiplo comum entre os deno- minadores. Assim, todos os denominadores são reduzidosa um denominador comum, permitindo, então, cancelá-lo: mmc(1,2,3) = 6 2 · (12 – x) + 6 · 1 ______________ 6 = 3 · x ____ 6 Multiplicando ambos os membros por 6, os denominado- res são cancelados. Efetuando as operações no restante da igualdade, tem-se: 24 – 2x + 6 = 3x à 30 = 3x + 2x ⇔ 30 = 5x x = 30 ___ 5 = 6 Logo, S = {6}. 2.1. Resolvendo sistemas de duas equações de primeiro grau Em problemas envolvendo equações de primeiro grau, é possível ter mais de uma incógnita a ser calculada. Nesse caso, deve-se ter também mais de uma equação. Um conjunto de equações determina um sistema de equações. Existem principalmente dois métodos para resolver tais sistemas: o método da substituição e o método da adição. 2.1.1. Método da substituição Esse método consiste em obter, a partir de uma das equações, uma incógnita em função das demais. Depois, substitui-se esse resultado nas outras equações. Observe um exemplo: Considere as seguintes equações: Primeiramente, escolhe-se uma das equações e isola-se qualquer uma das incógnitas. Por exemplo, a incógnita x na equação (I) é isolada: (I) x + 3y = 11 ä x = 11 – 3y Em seguida, o valor encontrado para x na equação é subs- tituído na equação (II): (II) 2x + y = 7 2(11 – 3y) + y = 7 22 – 6y + y = 7 –5y = –15 y = –15 ____ –5 = 3 Logo, y = 3. Com esse resultado, é possível substituir o valor de y em quaisquer das equações. Utilizando a equação (I): (I) x + 3y = 11 x + 3(3) = 11 x + 9 = 11 x = 2 Assim, a solução do sistema de equações é S = {(2; 3)} 2.1.2. Método da adição Esse método consiste em igualar os coeficientes de uma das incógnitas em ambas as equações de modo que, ao so- má-las, esses coeficientes se anulem, diminuindo a quanti- dade de incógnitas. Veja o exemplo: Considere o mesmo sistema de equações do exemplo anterior: 18 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 VIVENCIANDO Se a equação (I) for multiplicada por −2, será obtido o seguinte sistema: Somando a equação (I) e (II), tem-se: Observe que a escolha do fator –2 para multiplicar a equa- ção teve como finalidade igualar o valor absoluto dos coeficientes da incógnita x nas duas equações. Agora, a partir do valor de y, basta substituir em qualquer das equações. Em (I), tem-se: (I) x + 3y = 11 x + 3(3) = 11 x + 9 = 11 x = 2 Assim, a solução do sistema de equações é S = {(2; 3)}. Nos restaurantes por quilo, ou self-service, ocorre um exemplo de aplicação de uma equação de primeiro grau. Três informações são indicadas no leitor da balança: 1) o peso da comida; 2) o valor por quilo da comida; 3) o valor a ser pago. Com duas das três informações, é possível verificar a terceira informação desconhecida por meio de uma equação do primeiro grau: Peso da comida = x gramas Valor do kg da comida = R$ 30,00 / kg Valor a ser pago: R$ 12,00 Valor a ser pago = Peso da comida multiplicado pelo valor do quilo da comida R$12,00 = x kg ∙ 30 R$/kg 12 = x ∙ 30 x = 12 ___ 30 x = 0,4 kg ou 400 g Aplicação do conteúdo A resolução de um problema matemático consiste em trans- formá-lo em linguagem matemática, como uma equação, utilizando os dados fornecidos para chegar a uma conclu- são, com base no pedido no enunciado. Por meio de alguns exemplos, será demonstrado como problemas envolvendo equações de primeiro grau são enunciados. 1. Dado um número x, a soma do dobro desse número com 6 equivale à diferença entre o triplo desse número e 4. Qual é esse número? Resolução: § “soma do dobro desse número com 6”: 2x + 6 § “diferença entre o triplo desse número e 4”: 3x – 4 Logo: 2x + 6 = 3x – 4 6 + 4 = 3x – 2x 10 = x Portanto, o número pedido é 10. 2. Um executivo distribui seus rendimentos mensais da seguinte maneira: 1 __ 8 para o plano de saúde, 1 __ 4 para a poupança, 1 __ 6 para a alimentação e a moradia e os R$ 6.600,00 restantes para o lazer. Quanto o executivo poupa a cada mês? MATEMÁTICA e suas tecnologias 19 V O LU M E 1 Resolução: Quando o problema menciona “ 1 __ 8 para o plano de saúde”, entende-se que ele destina 1 __ 8 do valor total que recebe para o plano de saúde. Como o valor que ele recebe ao todo não é conhecido, ele é denominado x. Assim, é possível escre- ver que, para o pagamento do plano de saúde, ele destina 1 __ 8 de x, ou seja, 1 __ 8 ∙ x = x __ 8 . Assim, se todos os valores que ele destina a cada atividade forem somados, teremos o valor total de x: x __ 8 + x __ 4 + x __ 6 + 6 600 = x mmc(4,6,8) = 24 ⇒13x + 158 400 = 24x ⇒ ⇒158 400 = 24x – 13x ⇒ ⇒158 400 = 11x⇒ ⇒ x = 158 400 _______ 11 = 14 400 Dessa forma, como o valor total recebido mensalmente pelo executivo foi denominado x, segue que o valor P des- tinado à poupança corresponde a 1 __ 4 de x: P = 1 __ 4 x = x __ 4 = 14.400 ______ 4 = 3 600 Portanto, o executivo poupa R$3 600,00 ao mês. 3. Em uma chácara, há galinhas e vacas, totalizando 14 cabeças e 38 pés. Calcule o número de galinhas. Resolução: Sendo x o número de galinhas e y o número de vacas, e considerando que cada vaca e cada galinha possuem uma cabeça, cada galinha possui dois pés, e cada vaca, quatro. Tem-se: Como o objetivo é obter o número de galinhas (x), pelo método da adição é possível eliminar a outra incógnita (y). Assim, a equação (I) deve ser multiplicada por –4, e ambas as equações devem ser somadas: Multiplicando ambos os lados da equação por –1, tem-se: –2x = –18 à 2x = 18 ⇒ x = 9 Portanto, nessa chácara há 9 galinhas. 4. Em uma escola de música, o salário mensal de um professor é de R$ 800,00. Além disso, ele ganha R$ 20,00 por mês por cada aluno inscrito em suas au- las. Para receber R$ 2.400,00 por mês, quantos alunos devem estar matriculados em suas aulas? Resolução: Considerando x a quantidade de alunos matriculados e multiplicando o valor recebido por cada aluno matricula- do (R$ 20,00) pela quantidade de alunos matriculados, obtém-se o valor recebido pelo professor por cada aluno inscrito em suas aulas. Somando ao valor fixo de R$ 800,00, chega-se ao salário final do professor. Como ele deve receber mensalmente R$ 2.400,00, tem-se a seguinte equação: 20 · x + 800 = 2 400 Resolvendo a equação: 20 · x = 2 400 – 800 20 · x = 1 600 x = 1.600 _____ 20 = 80 Assim, deve haver 80 alunos matriculados. 3. Problemas clássicos Alguns problemas são comuns no vestibular, e não há fór- mula para resolvê-los. No entanto, analisando a resolução de alguns deles, é possível utilizar os mesmos métodos para problemas semelhantes. Observe os exemplos: § Uma torneira enche um tanque em 16 horas, e outra, em 12 horas. Estando o tanque vazio e abrindo simultaneamente as duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque? § Um trabalhador em uma fazenda consegue arar todo o campo em 16 horas. Um outro trabalhador consegue arar o mesmo campo em 12 horas. Em quanto tempo os dois trabalhadores conseguem arar um campo idên- tico trabalhando ao mesmo tempo? Note que os dois problemas, apesar de tratarem de temas distintos, possuem semelhanças. Com efeito, a resolução de ambos é idêntica. Assim, se soubermos resolver um de- les, também saberemos resolver o outro. Devido a essa similaridade entre questões, serão apre- sentados alguns problemas e suas resoluções para que os métodos de resolução possam ser aplicados em outras situações que podem aparecer no vestibular. 20 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 3.1. O problema das torneiras Uma torneira enche um tanque em 16 horas, e outra, em 12 horas. Estando o tanque vazio e abrindo simultaneamente as duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque? Análise Nessa situação-problema, não é possível aplicar a regra de três, uma vez que as capacidades de trabalho das torneiras são diferentes. O caminho, nesse caso, é identificar as fra- ções do trabalho que as respectivas torneirasrealizam em uma unidade de tempo. Assim, é preciso verificar a parte do tanque que cada torneira enche em 1 hora. § Se a primeira torneira enche o tanque todo em 16 horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 16 do tanque. § Se a segunda torneira enche o tanque todo em 12 horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 12 do tanque. Solução Sendo x horas o tempo que as duas torneiras gastarão para encher o tanque juntas, em uma hora elas encherão do tanque. Assim, Veja: 6 __ 7 h = 6 __ 7 · 60 min = 360 ___ 7 min = 51 3 __ 7 min Resposta: 6 6 __ 7 horas ou 6 horas e 51 3 __ 7 minutos. 3.2. O problema das lojas Juliana foi ao shopping center e entrou em 5 lojas. Em cada uma, gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Ao sair do shopping center, pagou R$ 3,00 de estacionamento e ficou com R$ 2,00. Quanto Juliana tinha antes de entrar na primeira loja? Solução algébrica Sendo x reais a quantia inicial de Juliana, tem-se: Loja Entrou com... Gastou Saiu com... 1 x x __ 2 + 1 x __ 2 – 1 2 x – 2 ____ 2 x – 2 ____ 4 + 1 x – 2 ____ 4 – 1 3 x – 6 ____ 4 x – 6 ____ 8 + 1 x – 6 ____ 8 – 1 4 x – 14 _____ 8 x – 14 _____ 16 + 1 x – 14 _____ 16 – 1 5 x – 30 _____ 16 x – 30 _____ 32 + 1 x – 30 _____ 32 – 1 Depois de pagar R$ 3,00 de estacionamento, resulta que: x – 30 _____ 32 – 1 – 3 = 2 ⇒ x – 30 _____ 32 = 6 ⇒ x = 222 Solução aritmética Observando a situação-problema do fim ao começo, tem-se: 54 Resposta: Juliana tinha no início R$ 222,00. 3.3. O problema das idades Eric diz a Douglas: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 90 anos”. Descubra a idade atual de cada um. Análise Uma bom auxílio para resolver os problemas de idade é construir uma tabela contendo as idades dos personagens envolvidos, no presente e/ou no passado e/ou no futuro e, em seguida, montar equações considerando que a diferença en- tre idades não muda: “Se, quando Douglas nasceu, Eric tinha x anos, Eric sempre será x anos mais velho do que Douglas no presente, no passado ou no futuro”. Solução Considerando os dados do problema, é possível construir a seguinte tabela. Passado Presente Futuro Eric y 2x 90 – 2x Douglas x y 2x Acompanhe passo a passo a construção da tabela: 1. Eric disse: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas [...]”. Daí, Eric, no presente, tem 2x anos, e Douglas, x anos, no passado. 2. Eric disse: “[...] quando eu tinha a idade que tu tens”. Então, Eric tinha y anos no passado (quando Douglas tinha x anos), sendo y anos também a idade de Douglas hoje, no presente. MATEMÁTICA e suas tecnologias 21 V O LU M E 1 3. Eric disse: “Quando tu tiveres a idade que eu tenho [...]”. Então, no futuro, a idade de Douglas será 2x (a mesma de Eric no presente). 4. Eric disse: “[...] a soma das nossas idades será 90 anos”. Então, como no futuro a idade de Douglas será 2x, a de Eric será o que está faltando para completar os 90 anos, ou seja, a idade de Eric será (90 – 2x) anos. Considerando que, em qualquer tempo, a diferença entre as idades será sempre a mesma: I. y – x = 2x – y ⇒ 2y = 3x Aqui, recorre-se ao artifício do problema da proporção para evitar as frações. 2y = 3x = 6k ⇔ x = 2k y = 3k II. y – x = (90 – 2x) – 2x ⇒ y + 3x = 90 ⇒ 3k + 6k = 90 ⇒ k = 10 ⇒ x = 20 y = 30 Logo, hoje Eric tem 2x = 40 anos, e Douglas, y = 30 anos. 3.4. O problema dos tratores Para arar um campo, o primeiro trator gasta 2 horas a menos do que o terceiro e uma hora a mais do que o segundo. Se o primeiro e o segundo tratores trabalha- rem juntos, a operação pode ser feita em 1 hora e 12 minutos. Quanto tempo gastariam os 3 tratores, juntos, para arar um campo idêntico? Análise Se, para efetuar um trabalho, gastam-se 3 horas, em uma hora faz-se 1 __ 3 desse trabalho. Assim, se, para efetuar um trabalho, gastam-se x horas, em uma hora faz-se 1 __ x des- se trabalho. Solução Se o terceiro trator gasta sozinho x horas, tem-se: 1. Tempo gasto pelo primeiro trator : (x – 2) horas 2. Tempo gasto pelo segundo trator : tempo gasto pelo primeiro trator, menos 1 hora : (x – 3) horas. Observe: Se o primeiro trator gasta uma hora a mais do que o segundo, então o segundo gasta uma hora a menos do que o primeiro. 3. 1h e 12 minutos = ( 1 + 12 ___ 60 ) h = 6 __ 5 h 4. Em uma hora de trabalho, o primeiro trator realiza 1 ____ x – 2 do serviço, o segundo faz 1 ____ x – 3 , e os dois, juntos, fazem 1 __ 6 __ 5 = 5 __ 6 . Assim: ⇒5x2 – 37x + 60 = 0 ⇒ ⇒ x = 5 ou x = 2,4 (não convém) Dessa forma, o primeiro, o segundo e o terceiro tratores gas- tam, respectivamente, x – 2 = 3h, x – 3 = 2h e x = 5h. En- tão, se os três gastarem y horas para fazer o serviço juntos, em uma hora eles farão: 1 __ y = 1 __ 2 + 1 __ 3 + 1 __ 5 = 31 ___ 30 Resposta: 30 ___ 31 horas. 3.5. O problema da água e do vinho Um barril contém 30 litros de água, e o outro, 20 litros de vinho. Simultaneamente, x litros de cada barril são tro- cados. Essa operação se repete várias vezes e é possível comprovar que a quantidade de vinho em cada barril se mantém constante depois da primeira operação. Determi- ne quantos litros (x) são trocados em cada operação. Solução De início, tem-se: No 1.º barril: água = 30 L vinho = 0 No 2.º barril: água = 0 vinho = 20 L Depois da primeira troca, tem-se: No 1.º barril: água = (30 – x) L vinho = x L fração de vinho = x ___ 30 No 2.º barril: água = x L vinho = (20 – x) L fração de vinho = 20 – x _____ 20 ( Lembre-se: fração = parte ____ todo ) A partir da primeira troca, as quantidades de vinho perma- necem inalteradas em cada barril. Então, as quantidades de vinho trocadas são iguais: Vinho que sai do 1.º barril = Vinho que sai do 2.º barril. As- sim, obtém-se: x ___ 30 · x = ( 20 – x _____ 20 ) · x Uma vez que x é diferente de zero, tem-se: x __ 3 = 20 – x _____ 2 ⇒ x = 12 Resposta: 12 litros 22 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 DIAGRAMA DE IDEIAS EQUAÇÕES DO 1.º GRAU PROBLEMAS CLÁSSICOS • DAS TORNEIRAS • DAS LOJAS • DAS IDADES • DA ÁGUA E DO VINHO • DOS TRATORES VOLUME VERSUS TEMPO DECRÉSCIMOS SUCESSIVOS ORGANIZAÇÃO DE TABELAS: IDADE VERSUS TEMPO MISTURA EXECUÇÃO DE TRABALHO VERSUS TEMPO CONHECIMENTOS PRÉVIOS: • OPERAÇÕES BÁSICAS • FRAÇÕES • DISTRIBUTIVAS • X É UMA INCÓGNITA • TODA EQUAÇÃO TEM UM CONJUNTO SOLUÇÃO. • 2 É A RAIZ QUE TORNA A EQUAÇÃO UMA SEN- TENÇA VERDADEIRA. 1 + x = 3 1.º MEMBRO IGUALDADE ENTRE OS MEMBROS 2.º MEMBRO EXIGE UMA LEITURA ATENTA ORGANIZAÇÃO NAS SOLUÇÕES NÃO POSSUEM UMA FÓRMULA PRONTA MATEMÁTICA e suas tecnologias 23 V O LU M E 1 1. Equações do segundo grau Uma equação de segundo grau pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, com a i 0 e a, b e c parâmetros reais. As equações desse tipo podem apresentar até duas solu- ções distintas, ou seja, podem existir dois valores reais de x que satisfaçam a igualdade. É por meio da fórmula de Bhaskara que as soluções devem ser encontradas: x = – b ± dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 2a Sendo a, b e c os coeficientes de uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções (denominadas raízes) x1 e x2 são dadas, então, por: x1 = –b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 2a e x2 = –b – √ _______ b2 – 4ac ____________ 2a O termo b2 – 4ac, denominado discriminante, é represen- tado pela letra grega delta maiúscula (D). O valor numérico do discriminante indica a quantidade de raízes reais distin- tas da equação: § Se D > 0 (discriminante positivo), a equação possui duas raízes reais diferentes.§ Se D = 0 (discriminante nulo), a equação possui ape- nas uma raiz real dupla. § Se D < 0 (discriminante negativo), a equação não possui raízes reais. Para solucionar uma equação do segundo grau, é neces- sário calcular a raiz quadrada do discriminante. Quando se tem D < 0, o radical é negativo, e seu resultado para números reais não pode ser definido. Modelos 1. Encontre o conjunto solução da equação. x² – 5x + 6 = 0 Determinando os parâmetros, segue: a = 1 b = –5 c = 6 Calcula-se primeiramente o discriminante: D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 1 · 6 = 1 Como D > 0, a equação apresentará duas raízes reais dis- tintas: x1 e x2: x = –b ± dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 2a = –(–5) ± dXX 1 _________ 2 · 1 = 5 ± 1 _____ 2 = = { x1 = 5 + 1 _____ 2 = 3 x2 = 5 – 1 ____ 2 = 2 Logo, o conjunto solução é S = {2, 3}. 2. Encontre o conjunto solução da equação. 25 + x² – 10x = 0 Determinando os parâmetros, segue: a = 1 b = –10 c = 25 Note que os parâmetros a e b são, respectivamente, os coeficientes de x² e x, e c é o termo independente, não sendo necessariamente o primeiro, segundo e terceiro termos da equação. Identificando o discriminante: D = b2 – 4ac = (–10)2 – 4 · 1 · 25 = 0 Como D = 0, a equação apresentará apenas uma raiz real. x = – b ± √ _______ b2 – 4ac ____________ 2a = –(–10) ± √ __ 0 __________ 2(1) = 10 ± 0 ______ 2 = 5 Logo, o conjunto solução é S = {5}. 3. Encontrar o conjunto solução da equação x² + x + 1 = 0. Determinando os parâmetros, segue: a = 1 b = 1 c = 1 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU COMPETÊNCIA(s) 5 HABILIDADE(s) 19, 21, 22 e 23 MT AULAS 5 E 6 24 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 VIVENCIANDO Calculando o discriminante: D = b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(1) = –3 Como D < 0, a equação não apresenta raízes reais, portan- to não é necessário calcular as raízes. O conjunto solução é S = Ø. 1.1. Condições para o número de raízes reais O valor numérico do discriminante indica o número de raízes reais de uma equação de segundo grau. Assim, é possível, caso haja um coeficiente desconhecido, verificar sob quais condições esse parâmetro oferece duas, uma ou nenhuma raiz real. Imagine as seguintes situações: um designer de interiores precisa verificar se os móveis de uma casa estão bem dis- postos dentro de cada cômodo e um pedreiro precisa confirmar a metragem de uma parede antes de levantá-la. Com efeito, em todos os momentos em que um cálculo de área for exigido, a equação de segundo grau será a ferramenta essencial para a resolução do problema. Aplicação do conteúdo 1. Qual deve ser o valor real do parâmetro k para que a equação 2x² + 4x + k = 0 forneça apenas uma solu- ção real? Resolução: Determinando os parâmetros, segue: a = 2 b = 4 c = k Como a equação deve fornecer apenas uma raiz real, o discrimi- nante deve ser nulo: D = b2 – 4ac = 0 4² – 4 · 2 · k = 0 16 – 8k = 0 –8k = –16 k = –16 ____ –8 = 2 Logo, se ocorrer k = 2 na equação 2x² + 4x + k = 0, haverá ape- nas uma raiz real. Veja que não é preciso calcular a raiz. 2. Quais os valores de m para que a equação mx² – x + 1 = 0 apresente duas raízes reais distintas? E para quais valores não apresenta raízes reais? Resolução: Determinando os parâmetros, segue: a = m b = –1 c = 1 Para que a equação apresente duas raízes reais, o discriminante deve ser positivo: D = b2 – 4ac > 0 (–1)² – 4 · m · 1 > 0 1 – 4m > 0 –4m > –1 m < 1 __ 4 Logo, se o valor de m for menor que 1 __ 4 , a equação apresentará duas soluções reais distintas. Para que a equação não apresente raízes reais, o discriminante deve ser negativo: D = b2 – 4ac < 0 (– 1)² – 4 · m · 1 < 0 1 – 4m < 0 – 4m < –1 m > 1 __ 4 Dessa forma, se o valor de m for maior que 1 __ 4 , a equação não apresentará raiz real. 1.2. Equações de segundo grau incompletas Quando uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 apresenta b = 0 ou c = 0, mesmo sendo possível utilizar a fórmula de Bhaskara, existem modos mais eficientes de encontrar as raízes. MATEMÁTICA e suas tecnologias 25 V O LU M E 1 1.2.1. Caso b = 0 Uma equação do tipo ax² + c = 0 pode ser resolvida sem a utilização da fórmula de Bhaskara. Observe um exemplo: § Calcule as soluções da equação 2x² – 8 = 0. Isolando o termo x² em um membro da equação: 2x² = 8 x² = 4 Como existem dois valores para x, que, quando elevados à segunda potência, resultam no valor 4, as raízes da equa- ção são x1 = 2 e x2 = –2. Assim, S = {–2, 2}. § Calcule as soluções da equação x² + 5 = 0. Isolando o termo x²: x² = –5 Note que não existe um valor que, elevado ao quadrado, resulte em um número negativo. Assim, S = Ø. 1.2.2. Caso c = 0 Caso o termo independente seja nulo, haverá uma equa- ção do tipo ax² + bx = 0. Essas equações podem ser resol- vidas fatorando a expressão: ax² + bx = 0 à x (ax + b) = 0 Para um produto ser nulo, um dos fatores deve ser nulo: x = 0 ou ax + b = 0 à x = –b ___ a Assim, as raízes são x1 = 0 e x2 = –b ___ a . Observe um exemplo: § Calcule as raízes da equação 4x² – 5x = 0. Fatorando o primeiro membro da equação: 4x² – 5x = 0 à x(4x – 5) = 0 Para o produto ser nulo, é preciso ter: x = 0 ou 4x – 5 = 0 à x = 5 __ 4 Assim, as raízes são x1 = 0 e x2 = 5 __ 4 , ou seja, S = { 0, 5 __ 4 } . 1.3. Soma e produto das raízes de uma equação de segundo grau Considerando uma equação do segundo grau com ax² + bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções x1 e x2 são dadas por: x1 = – b + √ _______ b2 – 4ac ____________ 2a e x2 = – b – √ _______ b2 – 4ac ____________ 2a . Sendo S a soma das raízes: S = x1 + x2 = _ b + √ __ ∆ ________ 2a + – b – √ __ ∆ ________ 2a . ä ä S = –b + √ __ ∆ – b – √ __ ∆ _______________ 2a . ä ä S = – 2b ___ 2a = – b __ a . Logo: S = – b __ a ä –S = b __ a . Sendo P o produto das raízes: P = x1 · x2 = (–b + √ __ D ) _______ 2a · (–b – √ __ D ) ______ 2a ä ä P = (–b)2 – ( √ __ D )2 __________ 4a2 = b 2 – √ __ D _____ 4a2 ä ä P = b 2 – (b2 – 4ac) ___________ 4a2 = 4ac ___ 4a2 = c __ a Logo: P = c __ a . Substituindo em ax² + bx + c = 0, considerando o coe- ficiente dominante igual a 1, segue: x² – Sx + P = 0 Assim, o coeficiente do termo do 1.º grau será a soma das raízes com o sinal trocado, e o termo independente será o produto das raízes. Modelo Supondo x1 > x2 § Se x2 – 3x + 2 = 0, então { x1 = 2 x2 = 1 § Se x2 – x – 12 = 0, então { x1 = 4 x2 = –3 26 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS 1.4. Equações biquadradas Quando uma equação do quarto grau possui a forma: ax4 + bx² +c = 0 (sendo a i 0) ela é denominada equação biquadrada. Note que a equação de quarto grau possui somente variáveis com expo- ente par. Observe alguns exemplos de equação biquadrada: x4 + 2x2 – 1 = 0 2x4 – 8 = 0 x4 – 4x2 = 0 Contudo, casos como: x4 + 2x3 – x2 + 7 = 0 5x4 – 2x2 + x – 1 = 0 não são equações biquadradas, pois possuem coeficientes não nulos em variáveis de grau ímpar. Esses casos particulares de equações incompletas de quar- to grau podem ser resolvidos por meio de uma substituição de variável realizada de modo a reduzir a equação de quar- to grau a uma de segundo grau. Considere a equação ax4 + bx² + c = 0, com a i 0. Subs- tituindo x² por y, resulta: x4 = (x²)² = (y)² = y² Logo, a equação na variável y é: ay² + by + c = 0 Como já visto, essa equação possui as raízes: y1 = –b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 2a e y2 = –b – dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 2a . No entanto, como x² = y, segue que x = ± √ _ y , logo: x1 = √ __ y1x2 = – √ __ y1 x3 = √ __ y2 x4 = – √ __ y2 Modelos 1. Resolva a equação x4 – 13x² + 36 = 0. Substituindo x² por y, tem-se: y² – 13y + 36 = 0 Essa equação pode ser resolvida por meio da fórmula de Bhaskara, resultando em y1 = 4 e y2 = 9. Contudo, como x² = y, segue que: § x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2. § x² = 9, logo x3 = 3 e x4 = –3. Assim, o conjunto solução é S = {–2, –3, 2, 3}. 2. Encontre o conjunto solução da equação biquadrada x4 + x2 – 2 = 0. Substituindo x² por y, tem-se: y² + y – 2 = 0 Resolvendo a equação de segundo grau, resulta y1 = 1 e y2 = –2. Retornando à variável x, chega-se a: § x² = 1, logo x1 = 1 e x2 = –1. § x² = –2 (não há valores reais de x que satisfaçam essa igualdade) Assim, o conjunto solução é S = {–1, 1}. 3. Encontre as raízes da equação x4 – 16 = 0. Realizando a substituição x² = y, tem-se: y² – 16 = 0 y² = 16 y = ± 4, ou seja, y1 = 4 e y2 = –4. Como x² = y, retornando a equação à variável x, segue que: § x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2. § x² = –4 (não há valores reais de x que satisfaçam essa igualdade) Assim, o conjunto solução é S = {–2, 2}. Equações do segundo grau estão intimamente relacionadas às funções do segundo grau estudadas na disciplina de Física. Um exemplo é a equação horária do espaço s = s0 + v0t + 1 __ 2 at2, para t0 = 0, chamada de “sorvetão”. A resolução desse tipo de problema se torna mais fácil com a aplicação da fórmula de Bhaskara. MATEMÁTICA e suas tecnologias 27 V O LU M E 1 DIAGRAMA DE IDEIAS EQUAÇÕES DO 2.º GRAU CONHECIMENTOS PRÉVIOS: • FATORAÇÃO • PRODUTO NOTÁVEL • POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO ax² + bx + c = 0 com a ≠ 0 x = 2a - b + - b² - 4ac DISCRIMINANTE b² - 4ac= 0 há 2 raízes reais e distintas há 2 raízes reais e iguais não há raízes reais = 0 0 Se 28 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 1. Teoria dos conjuntos Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência de elemento ao conjunto são definidos como primitivos, isto é, são aceitos sem definição. Não obstante, a noção de conjunto pode ser compreendi- da intuitivamente como um agrupamento de elementos. Observe os exemplos a seguir: § conjunto dos números naturais menores que 10; § conjunto das letras do alfabeto; § conjunto dos números pares; § conjunto dos dias de uma semana; § conjunto dos números primos; § conjunto dos números inteiros negativos; § conjunto dos polígonos regulares. É possível representar um conjunto nomeando seus elemen- tos um a um e organizando-os entre chaves e separados por vírgulas. Nesse modelo, o conjunto está representado por extensão. Por exemplo, pode-se representar o conjunto A dos números naturais menores que 10 da seguinte maneira: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Assim, está indicado que os elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 pertencem ao conjunto A. Atenção: As chaves são utilizadas para representar con- juntos. Ou seja, a e {a} são diferentes: A representação por extensão pode ser aplicada para con- juntos infinitos ou finitos, mesmo que o número de ele- mentos seja muito grande. Veja: § Conjunto dos números ímpares positivos: B = {1, 3, 5,...} é conjunto infinito § Conjunto dos números pares positivos menores que 400: C = {2, 4, 6,..., 398} é conjunto finito Também é possível representar um conjunto por meio de uma figura chamada diagrama de Euler-Venn. Por exemplo, um conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8} pode ser repre- sentado pelo seguinte diagrama: Nos casos em que é dada uma propriedade característica dos elementos de um conjunto, afirma-se que o conjunto está representado por compreensão. Observe: 1.1. Relações de pertinência Quando o objetivo é indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, afirma-se que o elemento x pertence ao conjunto A, relação que é simbolizada da seguinte maneira: x [ A Do mesmo modo, se o objetivo é indicar que um elemento x não pertence a um conjunto A, a representação é: x Ó A As relações de pertinência [ e Ó relacionam um ele- mento a um conjunto. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. É possível realizar as seguintes afirmações: § 1 [ A (Lê-se: o elemento 1 pertence ao conjunto A) § 6 Ó A (Lê-se: o elemento 6 não pertence ao conjunto A) TEORIA DOS CONJUNTOS COMPETÊNCIA(s) 1, 5 e 6 HABILIDADE(s) 1, 2, 5, 21, 22, 23 e 25 MT AULAS 7 E 8 MATEMÁTICA e suas tecnologias 29 V O LU M E 1 1.2. Relações de inclusão Para relacionar dois conjuntos, são utilizadas as relações de inclusão. Se todo elemento de um conjunto B perten- ce a outro conjunto A, afirma-se que o conjunto B está contido no conjunto A. Essa relação é simbolizada da se- guinte maneira: B , A Caso algum elemento de B não pertença ao conjunto A, o conjunto B não estará contido em A. Essa relação é simbolizada da seguinte maneira: B ÷ A As relações de inclusão , e ÷ relacionam dois conjuntos. Considerando os conjuntos A e B representados pelo dia- grama de Venn, tem-se: Atenção: As relações de pertinência sempre relacionam um elemento a um conjunto, e as relações de inclusão rela- cionam dois conjuntos. Observe os exemplos: § 1 , {1, 2, 3} Errado – a relação de inclusão “,” relaciona dois con- juntos, e 1 é um elemento. § {1} , {1, 2, 3} Correto – o conjunto formado pelo número 1 está conti- do no conjunto {1, 2, 3}. § {2} [ {1, 2, 3} Errado – o elemento {2} não pertence ao conjunto {1, 2, 3}. § 2 [ {1, 2, 3} Correto – o elemento 2 pertence ao conjunto {1, 2, 3}. É possível, em alguns casos, tratar conjuntos como elemen- tos de um outro conjunto. Veja: A = {1, 2, 3, {3}} Nesse caso, o conjunto A é formado pelos algarismos 1, 2 e 3 e por um conjunto que contém o algarismo 3. Dessa forma, é possível escrever: {3} [ {1, 2, 3, {3}} O conjunto unitário {3} é tratado como sendo um elemen- to do conjunto A. 1.3. Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Caso dois conjuntos A e B sejam iguais, a indi- cação será A = B. A negação da igualdade é indicada por A i B (A é dife- rente de B). Isso quer dizer que um desses conjuntos possui pelo menos um elemento que não pertence ao outro. Observe que, se A , B e B , A, então A = B. 1.4. Conjunto universo Em diversas situações, é importante estabelecer o con- junto U, ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos considerados. Esse conjunto é denominado conjunto universo. Por exemplo, ao tratar da população humana, o conjunto universo é constituído de todos os seres humanos. Para descrever um conjunto A por meio de uma proprieda- de característica p de seus elementos, é preciso mencionar, de modo explícito ou não, o conjunto universo U no qual se está trabalhando: A = {x [ U | x tem a propriedade p} ou A = {x | x tem a propriedade p}, quando a intenção é se referir a U de modo implícito. 1.5.Conjunto unitário O conjunto que possui um único elemento é chamado de conjunto unitário. Considere, por exemplo, o conjunto P = { x | x é um número primo par e positivo}. O único número primo par e positivo é 2. Assim, P é um conjunto unitário e é possível escrever P = {2}. 30 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 1.6. Conjunto vazio O conjunto que não possui elementos é chamado de con- junto vazio. Observe: Se A for o conjunto dos números primos menores que 2, esse conjunto não possuirá elemento, pois não há número primo menor que 2. O conjunto vazio é representado por { } ou Ø. Note que, como o símbolo Ø já representa um conjunto, para representar um conjunto vazio é possível escrever { } ou Ø, mas não {Ø}. 1.7. Subconjuntos Os conjuntos A e B são também representados por diagrama: A = {1, 3, 7} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} É possível notar que qualquer elemento de A também per- tence a B. Nesse caso, afirma-se que A está contido em B ou A é subconjunto de B. A indicação é: A , B (A está contido em B). Esse símbolo significa “está contido”. Também épossível dizer que B contém A. A indicação é: B . A (B contém A) Esse símbolo significa “contém”. Caso exista ao menos um elemento de A que não pertença a B, afirma-se que A não está contido em B ou que B não contém A. Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 6} Observe que o elemento 4 pertence a A, mas não pertence a B. A indicação é: A ÷ B (A não está contido em B) B À A (B não contém A) O símbolo ÷ significa “não está contido”, e À significa “não contém”. Um conjunto A é subconjunto do conjunto B quando todo elemento de A também pertence a B. Lembre-se: Se A , B e B , A, então A = B. Os símbolos ,, ., ÷ e À são aplicados para relacio- nar conjuntos. Para todo conjunto A, tem-se A , A. Para todo con- junto A, tem-se Ø , A, em que Ø representa o con- junto vazio. 2. Operações 2.1. União de conjuntos Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Agora, considere um conjunto C, formado pelos elementos que pertencem a A, a B ou a ambos: O conjunto C é denominado união de A e B. A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. A união de A e B é indicada por A < B (A união B). O símbolo < significa "união" ou "reunião". 2.1.1. Propriedades da união P1 A < A = A (idempotente) P2 A < Ø = A (elemento neutro em relação à união) P3 A < B = B < A (comutativa) P4 (A < B) < C = A < (B < C) (associativa) Modelos 1. Determine a união dos conjuntos A = {0, 2} e B = {x [ N | x é impar e 0 < x < 6}. MATEMÁTICA e suas tecnologias 31 V O LU M E 1 A união dos conjuntos A e B é: Por diagrama, tem-se: Observe que os conjuntos A e B não possuem elementos comuns. 2. Determine a união dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}. A união entre os conjuntos A e B pode ser representada pelo diagrama de Venn da seguinte maneira: Assim, A < B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2.2. Interseção de conjuntos Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Observe como determinar um conjunto C formado pelos elementos que são comuns a A e a B, ou seja, os elementos que pertencem a A e também pertencem a B. O conjunto C é denominado interseção de A e B. A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B. A interseção de A e B é designada por A > B (A inter B). A > B = {x | x [ A e x [ B} O símbolo > significa interseção. 2.2.1 Propriedades da interseção P1 A > A = A (idempotente) P2 A > U = A (elemento neutro em relação à interseção) P3 A > B = B > A (comutativa) P4 (A > B) > C = A > (B > C) (associativa) Modelo 1. Em cada caso a seguir, determine A > B e crie a repre- sentação em diagrama. a) A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4} b) A = {0, 2} e B = {1, 3, 5} Do enunciado: a) ä Em diagrama: b) Note que não há elementos em comum entre A e B. Devido a isso, a interseção desses conjuntos é vazia. Quando A > B = Ø, os conjuntos A e B são denominados disjuntos. 2.3. Diferença de conjuntos Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}. Agora, considere um conjunto C formado pelos elemen- tos que pertencem a A, mas que não pertencem a B: O conjunto C é a diferença de A e B. A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos ele- mentos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. A diferença de A e B é indicada por A – B (A menos B). A – B = {x | x [ A e x Ó B} Em diagrama: amareloamarelo 32 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 Se B , A, a diferença A – B denomina-se complementar de B em relação a A e é indicada por C B A . C B A = A – B Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então C B A = A – B = {0, 1, 4}. Em diagrama: O complementar de B em relação a A é o que falta para o conjunto B ficar igual ao conjunto A. Assim, o complementar de B em relação a A só está definido se, e somente se, B , A. Aplicação do conteúdo 1. Se A = {4, 5, 6, 7}, B = {5, 6} e E = {5, 6, 8}, determine: a) C B A b) B – E Resolução: a) C B A = A – B = {4, 5, 6, 7} – {5, 6} C B A = {4, 7} b) B – E = {5, 6} – {5, 6, 8} B – E = Ø 3. Principais símbolos lógicos | (tal que) ù (interseção) ø (união) ? (qualquer que seja) '! (existe um único) ä (implicar) [ (pertence) Ó (não pertence) . (contém) À (não contém) , (está contido) ÷ (não está contido) à (equivalente) ` (e) ~ (ou) . (maior que) , (menor que) ' (existe ao menos um) (não existe) 5 (igual) Þ (diferente) < (aproximadamente) 4. Número de elementos em um conjunto A: n(A) O número de elementos contidos no conjunto A é repre- sentado por n(A). Observe: A = {x | x representa os dias de uma semana} ä n(A) = 7 Lembre-se: § Conjunto unitário A = {x | x é dia da semana que começa com a letra D} A = {domingo} ä n(A) = 1 § Conjunto vazio A = {x | x é dia da semana que começa com a letra M} A = { } ou Ø ä n(A) = 0 § Conjuntos finitos e infinitos A = {2, 3, 4} ä n(A) = 3 ä A é finito B = {2, 3, 4,...} ä B é infinito § Conjuntos iguais A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 2, 3, 3} e C = {x | x [ N e 1 ø x ø 3} A = B = C, em todos os casos, n(A) = n(B) = n(C) = 3. 5. Conjuntos disjuntos Dois conjuntos A e B, não vazios, são disjuntos se não pos- suírem elementos comuns. Veja: A > B = Ø 6. Resumo 6.1. Pertinência e inclusão § de elemento para conjunto [ Ó (pertence) e (não pertence) MATEMÁTICA e suas tecnologias 33 V O LU M E 1 § de subconjunto para conjunto , ÷ (está contido) e (não está contido) § de conjunto para subconjunto . À (contém) e (não contém) A é subconjunto de B. A , B lê-se: “A está contido em B”. A é parte de B. Modelo Sendo A = {1, {1}, 2, 3}, de acordo com as afirmações: § 1 [ A (verdadeiro) § {1} [ A (verdadeiro) § {1} , A (verdadeiro) § Ø [ A (falso) § Ø Ó A (verdadeiro) § 2 , A (falso) § 2 [ A (verdadeiro) § {2} ÷ A (falso) 7. Números de subconjuntos Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e so- mente se, todo elemento de A pertence também a B. Com a notação A , B indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A é parte de B” ou “A está contido em B”. A negação de A , B é indicada por A ÷ B, que se lê: “A não está contido em B” ou “B não contém A”. A indicação simbólica é: A , B à (?x, x [ A ä x [ B). Modelos § {1, 2} , {1, 2, 3, 4} § {5} , {5, 6} § {1, 2, 3} ÷ {4, 5, 6} Lembre-se 1. O conjunto vazio está contido em qualquer conjun- to A, isto é, Ø , A, ?A. 2. Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é, A , A, ?A. 3. Chama-se subconjunto próprio de um conjunto A qualquer subconjunto de A que seja diferente de A. Simbolicamente, B é subconjunto próprio de A se B ⊂ A e B ∙ A. Aplicação do conteúdo 1. Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}? Resolução: Em primeiro lugar, registre todos os subconjuntos de A: Ø; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}. Há, portanto, 8 subconjuntos. Analisando o que acontece com os elementos, em relação aos subconjuntos, é possível dizer que cada um deles pode ou não aparecer. Então, para o elemento a, há duas possibilidades quanto à sua presença no subconjunto (aparecer ou não aparecer). O mesmo acontece com os elemen- tos b e c. Assim, segundo o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo na análise combinatória, tem-se: 2. Quantos subconjuntos possui um conjunto A com n elementos? Resolução: Conforme explicado no exemplo anterior, cada elemento de A pode ou não estar presente num determinado subconjunto C, de- vido ao fato de A ter n elementos. Dessa forma: Portanto: n.° de subconjuntos = 2 · 2 · 2 ... 2 n vezes Com isso: n° de subconjuntos = 2n 34 MATEMÁTICA e suas tecnologias V O LU M E 1 DIAGRAMA DE IDEIAS 8. Conjuntos das partes de um conjunto Considere o conjunto A = {1, 2, 3}, que tem os seguintes subconjuntos: § o conjunto vazio; § os conjuntos de um elemento: {1}, {2} e {3}; § os conjuntos com dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3}; § o próprio conjunto A. É denominado