Aula 16 12 - Estudo da reta - Papirando

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
TEORIA ANGULAR 
 
A. Inclinação de uma reta 
Dado um plano cartesiano e uma reta r 
concorrente com o eixo x, chamamos de 
inclinação de r a medida a do ângulo que r 
forma com o eixo x, ângulo esse medido a 
partir do eixo x até a reta r no sentido anti-
horário. 
Então: 
 
 r0º a 90º 
 
ra 90º 
 
 r90º a 180º 
No caso em que r é paralela ao eixo x, a 
inclinação de r é definida como 0°. 
Propriedades Importantes 
1P . Se duas retas de um plano cartesiano 
são paralelas, suas inclinações são iguais. 
 
 s rr / / s a a 
2P . Se duas retas são perpendiculares, a 
diferença entre suas inclinações é 90°. 
 
  s rr / / s |a a | 90º 
B. Coeficiente angular de uma reta 
Sendo r uma reta não paralela ao eixo y, 
coeficiente angular ou declividade de r é a 
tangente da inclinação de r, que indicamos 
por m. Assim: 
 

   
   
r r
r r
s r
m tg
0º a 90º m 0
r s |a a | 90º

 
 
 
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ESTUDO DA RETA 
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r rm tg 
  r ra 0º m 0 
 
r rm tg 
   r r90º a 180º m 0 
No caso em que r é paralela ao eixo y, o 
coeficiente angular de r não é definido. 
 
C. Como calcular o coeficiente angular 
Consideremos no plano cartesiano a reta 
não paralela ao eixo y, determinada por 
dois pontos  A AA x ,y e  B BB x ,y A B( x x ) 
1° caso: 0° < a < 90° 
 
Assim: 



B A
AB
B A
y y
m
x x
 
2° caso: 90º < a < 180° 
 
 
   

   

AB
BA
AB
B A
m tg tg(180º )
y yATm
TB x x
 
 
Assim: 



B A
AB
B A
y y
m
x x
 
 
 
 
 
 
 
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ESTUDO DA RETA 
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3° caso: a = 0° 
 
ABm 0 
Como B Ax x e B Ay y podemos 
escrever: 



B A
AB
B A
y y
m
x x
 
 
CONCLUSÃO 
Em qualquer dos casos, o coeficiente 
angular da reta é dado pela razão entre a 
diferença (∆y) das ordenadas e a diferença 
(∆x) das abscissas. 
Observação - De acordo com o cálculo 
exposto 



B A
AB
B A
y y
m
x x
; no entanto, 
podemos multiplicar o antecedente e o 
consequente da razão por – 1 e ela não se 
alterará, e obteremos: 
 
  
 
B BA A
AB
B BA A
y y y y ym
x x x x x


 
Exemplos 
1°) O coeficiente angular da reta que passa 
por A(1, 5) e B(3, 8): 

  
AB
y 8 5 3m
x 3 1 2


 
2°) O coeficiente angular da reta que passa 
por C(7, 2) e D(6, 2) é: 

 
CD
2 2m 0
6 7
 
3°) O coeficiente angular da reta que passa 
por E(5, 3) e F(5, 7) não é definido, pois 
E Fx x e a reta EF

 é paralela ao eixo y. 
 
D. Condição de alinhamento para três 
pontos 
Conforme vimos nos módulos anteriores, 
para sabermos se os pontos 
   B BA AA x ,y ,B x ,y e  C CC x ,y estão 
alinhados, calculamos o determinante: 

A A
B B
C C
x y 1
x y 1
x y 1
 e verificamos se o valor 
desse determinante é zero. Caso contrário, 
formam um triangulo cuja área é 
1A | |
2
 . 
Agora, porém, podemos verificar se três 
pontos distintos estão alinhados utilizando 
o conceito de coeficiente angular 
Observe as figuras: 
 
Figura 1 
 
 
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Figura 2 
Na figura 1 as retas AB

 e BC

 têm 
inclinação diferente ( 1 2a a ), pois A, B e C 
não estão alinhados. Assim, 1 2tga tga , ou 
seja, AB BCm m . 
Na figura 2, observamos que A, B e C estão 
alinhados e, portanto,  AB BCm m tg 
Podemos afirmar que três pontos A, B e C 
estão alinhados numa reta não vertical 
quando AB BCm m 
Se A, B e C estiverem em uma reta paralela 
ao eixo Y, não poderemos calcular o 
coeficiente angular. Todavia, nesse caso 
será fácil notar que  BA Cx x x . 
 
 BA Cx x x 
 
 
 
E. Condição de paralelismo de retas 
Duas retas r e s não paralelas ao eixo y 
serão paralelas entre si quando tiverem os 
coeficientes angulares iguais. 
 
 r sr / / s a a 
Assim:  r sr / / s tga tga 
ou seja: 
 r sr / / s m m 
Observação – Se r sm m , as retas r e s não 
são paralelas, isto é, são concorrentes. 
 
F. Condição de perpendicularismo de 
retas 
Duas retas r e s não paralelas ao eixo y 
serão perpendiculares entre si quando 
tiverem os coeficientes angulares com 
produto – 1. 
 
 
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    r sr s m m 1 
(Essa propriedade será demonstrada 
quando estudarmos posições relativas de 
duas retas). 
Importante: 
Se duas retas são perpendiculares e 
nenhuma delas é paralela ao eixo y, o 
coeficiente angular de uma delas é o oposto 
do inverso do coeficiente angular da outra. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01.Determine o coeficiente angular de cada 
reta a seguir. 
a. 
 
 
 
 
 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
e. 
 
 
 
 
 
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Resolução 
a.  rm tg60º 3 
b.   r
3m tg150º
3
 (Lembre-se de que a 
inclinação deve ser medida no sentido anti-
horário.) 
c.  tm tg0º 0 
d.  um tg90º um 
e. 
 
   
AB
y 1 3 4m
x 4 1 3


 
 
02. Obtenha a para que os pontos A, B e C 
sejam colineares: 
a. A(1, 3), B(2, 5) e C(4, a) 
b. A(4,-3), B(4, 0) e C(a, 7) 
Resolução: 
a. 
 
  
 AB BC
5 3 a 4m m
2 1 4 2
 

     
1 a 5 4 a 5 a 9
2 2
 
b.   BAx x 4 A e B estão na mesma 
vertical. Então, para que estejam alinhados, 
devemos ter    BC Ax x x a 4 
Resposta 
a. a = 9 
b. a = 4 
 
03. Determine os coeficientes angulares 
das retas suportes dos lados de um 
triangulo equilátero que tem dois de seus 
vértices nos pontos A(0, 0) e B(0, 6). 
 
 
Resolução 
 
Temos pela representação gráfica que um 
dos lados do triângulo está contido no eixo 
y e os outros dois lados nas retas s e r 
respectivamente. Assim, os coeficientes 
angulares das retas s e r são 
 S
3m tg30º
3
 e 

 r
3m tg150º
3
. 
A reta que representa o eixo y não tem 
coeficiente angular definido. 
 
04. A figura abaixo mostra um terreno às 
margens de duas estradas, X e Y, que são 
perpendiculares. O proprietário deseja 
construir uma tubulação reta passando 
pelos pontos P e Q (veja na figura). O ponto 
P dista 6 km da estrada X e 4 km da estrada 
Y, e o ponto Q está a 4 km da estrada X e a 
8 km da estrada Y. 
a. Determine as coordenadas dos pontos P 
e Q em relação ao sistema de eixos formado 
pelas margens das estradas. 
b. Determine o coeficiente angular da reta 
que passa pelos pontos P e Q. 
 
 
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Resolução 
A partir do enunciado, temos: 
 
a. P(4; 6) 
 Q(8; 4) 
b. 
  
    
 
P Q
PQ
P Q
y y 4 6 2 1M
x x 8 4 4 2
 
 
05. No quadrilátero ABCD da figura, os 
lados AB e CD são paralelos. Determine o 
valor de a. 
 
Resolução 
a = 9 



 
 

 
 
  
 

     
  

AB CD
DB CA
B DA C
m m
y yy y
x x x x
4 2 5 a
8 4 1 9
2 5 a 1 5 a
4 8 2 8
82( 5 a ) 8 5 a
2
5 a 4
a 9
 
 
06. ABCD é um losango com A(1, 5) e C(4, -
2). Determine o coeficiente angular da reta 
suporte da diagonal BD. 
Resolução 
Num losango, as diagonais são 
perpendiculares. Então: 
    
 
   

     
BDAC
AC
BD BD
AB BD m m 1
2 5 7m
4 1 3
7 3m 1 m
3 7
 
 
 
 
 
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EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DE 
UMA RETA 
 
Vamos determinar a equação de uma reta 
conhecendo um dos seus pontos e a sua 
direção. Existem dois casos que devemos 
considerar: 
• 1° CASO 
A reta tem coeficiente angular. 
Seja r uma reta do plano cartesiano que 
passa pelo ponto 0 0Q( x , y ) e tem coeficiente 
angular m. Para determinarmos a equação 
desta reta, consideramos um ponto P(x, y) 
e fazemos com que ele tenha a propriedade 
característica de r. Assim: 
 
   rPQP( x,y ) r m m 
Então: 



0
0
y y
mx x
 
ou   0 0y y m( x x ) 
Essa equação obtida é chamada equação 
fundamental de r. 
Exemplo 
Obter uma equação da reta que passa pelo 
ponto A(3, 2) e tem coeficiente angular – 2. 
 
 
Resolução 
  0 0y y m( x x ) 
Assim, uma equação de r é: y – 2 = – 2(x – 
3) 
 y – 2 = – 2x + 6 
 2x + y – 8 = 0 
 
• 2° CASO 
A reta não tem coeficiente angular. 
Seja r uma reta do plano cartesiano que 
passa pelo ponto 0 0Q( x ,y ) e tem inclinação 
90°. Para determinarmos a equação desta 
reta, consideramos um ponto P(x, y) e 
fazemos com que ele tenha a propriedade 
característica de r. Assim: 
 
Então:  0x x 
Essa equação obtida é a equação de r. 
Exemplo 
Obter uma equação da reta que passa pelo 
ponto A(3, 2) e é paralela ao eixo y. 
Resolução 
  0x x isto é, x = 3 é a equação da reta. 
 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. A equação da reta que passa pelo ponto 
(3, -2), com Inclinação de 60º, é: 
a.    3x y 2 3 3 0 
b.    3x 3y 6 3 3 0 
c.    3x y 2 2 3 0 
d.    3x y 2 2 3 0 
e.   3x y 5 3 0 
Resolução 
 m tg60º 3 
Logo,   0 0y y m( x x ) 
     
      
y 2 3( x 3 ) y 2
3x 3 3 3x y 2 3 3 0
 
Resposta: A 
 
02. Dê a equação da reta que passa pelos 
pontos A(2, 5) e B(3, 4). 
Resolução 
 
   
 
  
   
   
BA
AB
BA
0 0
y y 5 4m 1
x x 2 3
y y m( x x )
y 5 1( x 2 )
y 5 x 2
 
Resposta: x + y – 7 = 0 
Observação: utilizamos coordenadas do 
ponto A para obtermos a equação da reta, 
mas o resultado seria o mesmo se 
utilizássemos as coordenadas do ponto B. 
03. Qual é equação da reta r da figura a 
seguir? 
 
a. y = x + 1 
b. x + y – 1 = 0 
c. x + y + 1 = 0 
d. y = x – 1 
e. y = - x + 1 
Resolução 
A reta r passa pelos pontos A(2, 1) e B(0, -
1). 
Assim: 
  
   
 
  
       
 
0 0
y 1 1 2m 1
x 0 2 2
y y m( x x )
y 1 1 ( x 2 ) y 1 x 2
y x 1


 
Resposta: D 
 
EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
 
Toda reta do plano cartesiano tem equação 
que pode ser escrita na forma: ax + by + c 
= 0, em que a, b e c são conhecidos e a ≠ 0 
ou b ≠ 0. Essa forma de equação é 
denominada equação geral da reta. 
 
 
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De fato, supondo que  A AA x ,y e  B BB x ,y 
são dois pontos distintos de uma reta r 
qualquer, uma equação de r é: 
 
     
     
     
B B B BA A A A
B B B BA A A A
xy x y x y x y x y xy 0
y y x x x y x y x y 0
 
Fazendo    B BA Ay y a,x x b e 
 B BA Ax y x y c , temos: 
ax + by + c = 0 
onde não podemos ter simultaneamente a 
= 0 e b = 0, pois, neste caso, A By y e 
B Ax x teríamos A e B coincidentes; logo a 
≠ 0 ou b ≠ 0. 
OBSERVAÇÕES 
1ª) Se a = 0, temos que  BAy y e a reta é 
paralela ao eixo x. 
 
2ª) Se b = 0, temos que B Ax x e a reta é 
paralela ao eixo y. 
 
3ª) Se c = 0, a reta passa pela origem, pois 
(0, 0) é uma solução de ax + by = 0. 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA 
 
Consideremos uma reta r no plano 
cartesiano que corta o eixo y no ponto Q(0, 
q) e tem coeficiente angular m. A equação 
de r é dada por: 
y – q = m(x – 0)  y = mx + q 
Esta forma de apresentar a equação de r é 
chamada de forma reduzida, e seus 
coeficientes são: 
m = coeficiente angular de r 
q = coeficiente linear de r 
 
 Exemplo 
1°) A equação reduzida da reta com 
inclinação 60º e que corta o eixo y no ponto 
Q(0, 3) é: 
 
 
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 m tg60º 3 e q = 3 
 y 3x 3 
2°) A reta com equação reduzida y = – x – 
1 tem m = – 1 e q = – 1, então a sua 
representação no plano cartesiano é: 
 
 
OBSERVAÇÕES 
1°) A equação reduzida de uma reta 
fornece diretamente o coeficiente angular 
(m) e a ordenada (q) do ponto onde a reta 
intercepta o eixo y. Dessa forma, a reta (r) 
ax + bx + c = 0 tem equação reduzida 
  
a cy x
b b
, desde que b ≠ 0, e seus 
coeficientes são: 
  
a m
b
 Coeficiente angular 
  
c q
b
 Coeficiente linear 
 
 
 
Exemplo 
A reta da equação 2x - 3y + 6 = 0 tem forma 
reduzida  
2y x 2
3
 com 
2m
3
 e q = 2. 
2°) As retas de inclinação 90° (paralelas ao 
eixo y) não têm equação na forma 
reduzida. 
 
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA 
RETA 
 
Consideremos uma reta r que intercepta os 
eixos cartesianos nos pontos P(p, 0) e Q(0, 
q), com 
p ∙ q ≠ 0: 
 
A equação de r será: 
 
qx + py – p = 0  qx + py = pq 
Dividindo os dois membros por pq, temos: 
    
qx py pq yx 1
pq pq pq p q
 
 
 
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Dizemos que esta equação é a equação 
segmentária da reta r. 
Observação - Os denominadores de x e y, na 
equação segmentária, são, 
respectivamente, a abscissa do ponto onde 
r intercepta o eixo x e a ordenada do ponto 
onde r intercepta o eixo y. 
 Exemplo 
1°) A equação segmentária da reta r da 
figura é: 
 
 
yx 1
4 2
 
2°) A equação segmentária da reta s da 
figura é: 
 
 

yx 1
5 3
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 
DA RETA 
 
Consideremos uma reta r não paralela a 
algum dos eixos cartesianos, que passa 
pelos pontos  A AA x ,y e  B BB x ,y . 
O coeficiente angular de r é: 

 

B A
B A
y yym
x x x


 
A equação fundamental de r é: 
 
 
 
 
 

  

B A
A A
B A
y y
y y x x
x x
 
Ou então: 
 

 
A A
B BA A
x x y y
x x y y
 
Igualando os dois membros da equação a 
um número real t, temos: 
 
 

    


    

A
BA A
B A
A
BA A
B A
x x
t x x t x x
x x
y y
t y y t y y
y y
 
Então, para cada valor t ∈ ℝ, obtemos um 
ponto da reta. 
Chamamos de forma paramétrica ou de 
equações paramétricas da reta as 
equações: 
 
t é chamado parâmetro das equações. 
 Exemplo 
 
 
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As equações paramétricas da reta que 
passa pelos pontos A(5, 2) e B(7, 1) podem 
ser: 
   
   
       
        
BA A
BA A
x x t x x 5 t 7 5 2t 5
y y t y y 2 t 1 2 t 2
 
Isto é: 



 
  
x 2t 5
y t 2
 
Observação - É fácil percebermos que, para 
cada par de pontos que tomarmos em r, 
teremos equações diferentes. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01. Obtenha os pontos onde a reta de 
equação geral (r) 3x + y – 6 = 0 Intercepta 
os eixos coordenados. 
Resolução 
Sendo PP( x ,0 ) e QQ(0,y ) os pontos 
procurados, temos: 
     
      
P P
Q Q
3x 0 6 0 x 2 P( 2,0 )
3 03 y 6 0 y 6 Q(0,6 )
 
Resposta: P(2, 0) e Q(0, 6) 
 
02. Sabe-se que a reta (s), de equação ax + 
by = 0, é paralela à reta (r), de equação 4x 
– 8y + 6 = 0. Então 
a
b
, vale: 
a. 
1
2
 
b. 1 
c. – 2 
d. 
1
2
 
e. 2 
Resolução 
     
 
a b a 4 1r / / s
4 8 b 8 2
 
Resposta: D 
03. O hexágono regular ABCDF tem lados 
medindo 2 unidades. A equação da reta r é: 
 
a.   x y 3 0 
b.   3x 3y 3 0 
c.   3x 3y 3 0 
d.   3x 3y 3 0 
e.   3x 3y 3 0 
Resolução 
Cada ângulo interno do hexágono regular é 
igual a 120°. Então: 
OÂF = 60° e BÂC = 30° 
(pois o triângulo ABC é isósceles) 
O ponto A (do eixo x) é tal que 
OA = AF ∙ cos 60° ↔ OA = 2 ∙ 
1
2
= 1, 
resultando suas coordenadas iguais a (1, 
0). Se o coeficiente angular de r é 
 
 
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 
3m tg30º
3
 e a reta passa pelo ponto 
A(1; 0), a equação da reta r é 
        
3y 0 x 1 3x 3y 3 0
3
 
Resposta: E 
04. Um triangulo ABC possui vértices A = 
(2, 3), B = (5, 3) e C = (2, 6). A equação da 
reta bissetriz do angulo  é: 
a. y = 3x + 1 
b. y = 2x 
c. y = x – 3 
d. y = x + 1 
e. y = x 
Resolução 
 
O triângulo ABC é isósceles, retângulo em 
A, e cateto paralelo aos eixos coordenados. 
A bissetriz do ângulo  tem inclinação de 
45º, por tanto sua declividade é m = tg 45º 
= 1. 
A equação da bissetrizé: 
y – 3 = 1 ∙ (x- 2) ↔ y = x + 1 
Resposta: D 
05. Determine a equação segmentária da 
reta cuja equação geral é 5x + 6y – 30 = 0 
Resolução 
1° modo 
Vamos determinar os pontos onde a reta 
intercepta os eixos: 
• para x = 0: 5 ∙ 0 + 6y – 30 = 0  y = 5 
• para y = 0: 5x + 6 ∙ 0 – 30 = 0  x= 6 
Assim, a reta intercepta os eixos nos pontos 
Q(0,5) e P(6,0). 
Logo, a equação segmentária é:  
yx 1
6 5
 
2° modo 
5x + 6y – 30 = 0  5x + 6y = 30 (dividindo 
os dois membros por 30) 
  
6 y5x 30
30 30 30
 
Assim, a equação é  
yx 1
6 5
 
 
06. Dada a reta r de equação x + 2y – 4 = 0, 
obtenha uma equação paramétrica de r. 
Resolução 
Vamos obter dois pontos quaisquer de r: 
• para x = 2: 2 + 2y – 4 = 0  y = 1 
• para x = 0: 0 + 2y – 4 = 0  y = 2 
Assim, A (2, 1) e B(0, 2) pertencem a r e à 
equação reduzida por: 




       
       
BA A
BA A
x x t( x x ) 2 t(0 2 ) 2 2t
y y A( y y ) 1 t( 2 1 ) 1 t
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
Resposta: 



 
 
x 2 2t
y 1 t
 
 
07. Obtenha a equação geral da reta com 
equações paramétricas: 



 
 
x t 1
y 3t 2
 
Resolução 
x = t – 1  t = x + 1. Substituindo na outra 
equação, temos: y = 3(x + 1) + 2  y = 3x 
+ 5. Então, a equação geral é: 3x – y + 5 = 
0 
Resposta: 3x – y + 5 = 0 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE 
DUAS RETAS 
 
Consideremos duas retas do plano 
cartesiano com equações: 
  
  
1 1 1
2 2 2
( r )a x b y c 0
( s )a x b y c 0
 
Consideremos, ainda, que    1 1 2 2a b a b 0 , 
isto é, as retas não são paralelas a algum 
dos eixos cartesianos. 
Colocando as equações na forma reduzida, 
temos: 
  
   
  
   
1 1 1
1 1
1 1
2 2 2
2 2
2 2
( r )a x b y c 0
a c
y x
b b
( s )a x b y c 0
a c
y x
b b
 
Então, os coeficientes angular e linear das 
retas são: 
   
   
1 2
r s
1 2
1 2
r s
1 2
a a
m ;m
b b
c c
q ;q
b b
 
Vamos discutir, com os elementos obtidos, 
as posições possíveis de r e s no plano 
cartesiano. 
 
A. Retas paralelas distintas 
 
Devemos ter: r sm m , e r sq q 
Assim: 
 
  
   
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 1 1
1 2 2 2
a a a b
b b a b
c c b c
b b b c
 
Reunindo as duas condições, temos: 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
 
 
 
 
 
 
B. Retas paralelas coincidentes 
 
Devemos ter: r sm m , e r sq q 
Assim: 
    1 2 1 1
1 2 2 2
a a a b
b b a b
 e 
    1 2 1 1
1 2 2 2
c c b c
b b b c
 
Reunindo as duas condições, temos: 
 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
 
C. Retas concorrentes 
 
Devemos ter: r sm m 
Assim,    1 2 1 1
1 2 2 2
a a a b
b b a b
 
1 1
2 2
a b
a b
 
Observações 
1ª) Se alguma das retas for paralela a 
algum dos eixos coordenados, o problema 
se tornara imediato. 
2ª) Se as retas forem concorrentes num 
ponto P. para obter esse ponto P basta 
resolver o sistema formado pelas equações 
de r e s. 
 Exemplo 
Determine o ponto de intersecção das 
retas: 
(r) 2x + y – 5 = 0 e 
(s) 4x – y – 1 = 0 


2x y
( )
 

5 0
4x y





 1 0
 
    6 x 6 0 x 1 
Substituindo na equação de r, temos: 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
2 ∙ 1 + y – 5 = 0  y = 3 
Assim, as retas r e s se interceptam no 
ponto (1,3). 
Dentre as retas concorrentes, as 
perpendiculares são as mais solicitadas nas 
avaliações e nos concursos militares, 
portanto vamos recordar a condição de 
perpendicularismo. 
 
CONDIÇÃO DE 
PERPENDICULARISMO DE 
RETAS: DEMONSTRAÇÃO 
 
Duas retas r e s não paralelas ao eixo y 
serão perpendiculares entre si quando 
tiverem os coeficientes angulares com 
produto – 1. 
Demonstração 
1ª parte: 
 
   r sr s 90º  ou 
   r s s
r
190º tg
tg
  
 
Assim: 
   s
r
1r s m
m
 
ou seja:     s rr s m m 1 
2ª parte:     s rm m 1 r s 
a)      r s r
s
1m m 1 m
m
 
Como r sm m , as retas r e s são 
concorrentes. Sendo θ a medida do ângulo 
formado por r e s e considerando rm 0 e 
sm 0 , ou seja,  r0º 90º e 
 s90º 180º 
 
 s r   ou seja: 
 s r ( I )   
b)    r r
s s
1 1m tg
m tg

 
Como  r0º 90º e  s90º 180º , 
 s r 90º ( II )  
Comparando (I) e (II), temos que θ = 90º. 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
Assim, 
    r sm m 1 r s 
Logo, a partir das demonstrações, 
concluímos: 
    r sr s m m 1 
 
Importante: 
 Se duas retas são perpendiculares e 
nenhuma delas é paralela ao eixo y, o 
coeficiente angular de uma delas é o oposto 
do inverso do coeficiente angular da outra. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01. Dê a posição relativa das retas r e s em 
cada item abaixo: 
a. (r) 4x + 2y – 7 = 0 e 
 (s) 2x + y + 1 = 0 
 
b. (r) 3x – y + 2 = 0 e 
 (s) – 6x + 2y – 4 = 0 
 
c. (r) 3x - 2y +1 = 0 e 
 (s) x – 2y + 3 = 0 
 
d. (r) x – 2 = 0 e 
 (s) 3x + 2y + 1 = 0 
Resolução 
a. 

 
4 2 7
2 1 1
, então r e s são paralelas 
distintas. 
b. 

 
 
3 1 2
6 2 4
, então r e s são paralelas 
coincidentes. 
c. 



3 2
1 2
, então r e s são concorrentes. 
d. r é paralela ao eixo y e s não, então r e s 
são concorrentes. 
Resposta 
a. Paralelas distintas 
b. Paralelas coincidentes 
c. Concorrentes 
d. Concorrentes 
 
02. Discuta, em função de k, a posição 
relativa das retas. 
(r) kx – 2y + 3k = 0 
(s) 3x + y + k + 2 = 0 
Resolução 



   
   
      
  
    
  
r
s
( r ) 2y kx 3x
kx 3k ky m
2 2 2
( s )y 3 k 2 m 3
( r )y 3x 9k 3 k 6
2 ( s )y 3x 4
 
Resposta: 
Se k ≠ 6, temos (r) e (s) concorrentes. 
Se k = – 6, temos r sm m e r sq q , logo r e 
s são paralelas distintas 
 
03. Dada a reta r de equação 4x + 2y + 5 = 
0 e o ponto P = (2, -1), determine: 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
a. o coeficiente angular de r; 
b. a equação da reta s que é perpendicular 
a r e passa pelo ponto P. 
 
Resolução 
a. 4x + 2y + 5 = 0  y = – 2x – 5
2
 . Logo, o 
coeficiente angular de r é m = – 2. 
b. Temos que r e s são perpendiculares. 
Assim, o coeficiente angular de s é 
 
 
r
1 1 1
m 2 2
. 
Como a reta s passa pelo ponto P(2; -1), 
uma equação dessa reta é: 
        
1y ( 1) ( x 2 ) x 2y 4 0
2
 
 
04. Na figura, se a equação da reta r é 3x + 
y – 4 = 0, a área do triângulo ABC é: 
 
a. 240 
b. 220 
c. 200 
d. 260 
e. 280 
 
 
 
Resolução 
 
O coeficiente angular da reta r: 
3x + y – 4 = 0, é  rm 3 e, portanto, o 
coeficiente angular de s AB

 é s
1m
3
, pois 
r s . 
Como B ∈ r é tal que B(0; 4) e B ∈ S, a 
equação de 
       
1y 4 ( x 0 ) x 3y 12 0
3
. 
Assim, A ∈ s é A(-12; 0), e C ∈ r é C(-12; 40). 
Logo, a área do triangulo ABC é dada por: 
 
  
AC 12 40 12S 240
2 2
 
Resposta: А 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Para que os pontos 𝐴(𝑥, 3), 𝐵(−2𝑥, 0) e 
𝐶(1,1) sejam colineares, é necessário que 𝑥 
seja 
a) – 2 
b) – 1 
c) 2 
d) 3 
 
2) As retas de equações 𝑦 + 𝑥 − 4 = 0 e 2𝑦 
= 2𝑥 − 6 são, entre si, 
a) Paralelas 
b) Coincidentes 
c) Concorrentes e perpendiculares 
d) Concorrentes e não perpendiculares 
 
3) Seja a equação geral da reta 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 
= 0. Quando 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0, a reta 
a) Passa pelo ponto (𝑐, 0) 
b) Passa pelo ponto (0,0) 
c) É horizontal 
d) É vertical 
 
4) A reta 𝑠 que passa por 𝑃(1,6) e é 
perpendicular a 
2
r : y x 3
3
  é 
a) 
3
y x
2
 
b) y x 5  
c) 
2 20
y x
3 3
   
d) 
3 15
y x
2 2
   
 
5) Dada a reta r :2x 3y 5 0   e o ponto 
𝑃(5,6), a distância de 𝑃 à reta 𝑟 é 
a) 91 
b) 30 13 
c) 3 91 / 91d) 3 13 / 13 
 
6) A equação reduzida da reta que passa 
pelos pontos 𝐴(0,1) e 𝐵(6,8) é dada por 
a) 𝑦 = 7𝑥 + 1 
b) 𝑦 = 6𝑥 + 1 
c) 
7
y x 1
6
  
d) 
6
y x 1
7
  
 
7) O valor de a para que os pontos 𝐴(−1,3 
− a), 𝐵(3, a + 1) 𝑒 𝐶(0, −1) sejam 
colineares é um número real 
a) Primo 
b) Menor que 1 
c) Positivo e par 
d) Compreendido entre 2 e 5 
 
8) Analisando o gráfico, temos que a reta 
forma com os eixos coordenados um 
triângulo de 4 unidades de área. 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
Marque a alternativa correspondente à 
equação da reta que passa pelos pontos 𝑃 𝑒 
𝑄. 
a) 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 
b) −2𝑥 + 𝑦 = 4 
c) 2𝑥 + 𝑦 = −4 
d) 2𝑥 − 𝑦 = 4 
 
9) O coeficiente angular da reta que passa 
pelos pontos 𝐴(−1,3) 𝑒 𝐵(2, −4) é 
a) 
1
2
 
b) 
7
3
 
c) 
2
2
 
d) 
4
3
 
 
10) Para que os pontos 𝐴(2,0), 𝐵(a, 1) 𝑒 
𝐶(a + 1,2) estejam alinhados, é necessário 
que o valor de a seja 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
11) Sejam as retas 𝑟 𝑒 𝑠 de equações 𝑦 = 
2𝑥 − 3 𝑒 𝑦 = −3𝑥 + 2. A tangente do ângulo 
agudo formado pelas retas 𝑟 𝑒 𝑠 é 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 
3
3
 
 
12) As retas 𝑦 = 𝑘𝑥 + 2 𝑒 𝑦 = −𝑥 + 𝑚 
interceptam-se no ponto (1,4). Assim, o 
valor de 𝑘 + 𝑚 é 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 5 
 
13) Se os pontos 𝐴(2,3), 𝐵(4,0) e 𝐶(0, 𝑘) 
estão alinhados, então o valor de 𝑘 é um 
número 
a) Ímpar 
b) Primo 
c) Múltiplo de 5 
d) Múltiplo de 3 
 
14) Considere o segmento que une os 
pontos (−1, −3) 𝑒 (5,5) e uma reta 
perpendicular a ele. O coeficiente angular 
dessa reta é 
a) −2/5 
b) −3/4 
c) 1/2 
d) 2/3 
 
15) Os pontos 𝑀(−2, a), 𝑁(a, 5)𝑒 𝑃(0, a) 
estão alinhados. Assim, o quadrante a que 
𝑁 pertence é o 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
 
16) Se (𝑟)𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0 𝑒 (𝑠)8𝑥 + (𝑡 − 
1)𝑦 − 2 = 0 são duas retas paralelas, então 
𝑡 é o múltiplo de 
a) 3 
b) 5 
c) 7 
d) 9 
 
17) Complete de maneira correta: “O 
ponto de interseção das retas 𝑦 = 2𝑥 + 4 𝑒 
𝑦 = −3𝑥 − 1 pertence ao __ quadrante”. 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
 
18) A equação segmentária da reta que 
passa pelos pontos 𝐴(−2, −7) e 𝐵(1, −5) é 
a) 
3y 2x
1
17 17
  
b) 
2x 3y
1
17 17
  
c) 
3x 2y
1
17 17
  
d) 
3y 2x
1
17 17
  
 
19) A equação da reta que passa pelo 
ponto 𝐸(−1, −3) e que tem 45° de 
inclinação é 
a) 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 
b) 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 
c) 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 
d) 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 
 
20) A reta 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 é perpendicular 
à reta 
a) 2𝑥 − 3𝑦 = 5 
b) 4𝑥 + 6𝑦 = 1 
c) 3𝑥 + 2𝑦 = 0 
d) 6𝑥 − 4𝑦 = 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. b 11. b 
2. c 12. b 
3. c 13. d 
4. d 14. b 
5. d 15. a 
6. c 16. c 
7. a 17. b 
8. a 18. b 
9. b 19. b 
10. c 20. b 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Para que os pontos 𝐴(𝑥, 3), 𝐵(−2𝑥, 0) e 
𝐶(1,1) sejam colineares, é necessário que 𝑥 
seja 
a) – 2 
b) – 1 
c) 2 
d) 3 
Resolução 
Do estudo da geometria analítica, temos 
que para os três pontos sejam colineares 
eles devem obedecer à seguinte equação: 
 
3 3x 0 x 1      
Gabarito: “b”. 
 
2) As retas de equações 𝑦 + 𝑥 − 4 = 0 e 2𝑦 
= 2𝑥 − 6 são, entre si, 
a) Paralelas 
b) Coincidentes 
c) Concorrentes e perpendiculares 
d) Concorrentes e não perpendiculares 
Resolução 
O coeficiente angular de 𝑦 + 𝑥 − 4 = 0 é −1 
e o coeficiente angular de 2𝑦 = 2𝑥 − 6 é 
2
1
2
 , ou seja: 
1
1 1
1
  

 
Logo, são perpendiculares e concorrentes. 
Gabarito: “c”. 
 
3) Seja a equação geral da reta 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 
= 0. Quando 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0, a reta 
a) Passa pelo ponto (𝑐, 0) 
b) Passa pelo ponto (0,0) 
c) É horizontal 
d) É vertical 
Resolução 
Se 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0, podemos escrever: 
c
0 x by c 0 y
b
       
Logo, trata-se de uma reta horizontal. 
Gabarito: “c”. 
 
4) A reta 𝑠 que passa por 𝑃(1,6) e é 
perpendicular a 
2
r : y x 3
3
  é 
a) 
3
y x
2
 
b) y x 5  
c) 
2 20
y x
3 3
   
d) 
3 15
y x
2 2
   
Resolução 
O coeficiente angular da reta 𝑟 é 
r
m 2/ 3 . 
Se 𝑠 é perpendicular à 𝑟, temos: 
r s s s
2 3
m m 1 m 1 m
3 2
          
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
Então a reta 𝑠 é dada por: 
3
y x b
2
   
Mas ela passa por 𝑃(1,6), logo: 
3 15
6 1 b b
2 2
      
Por fim: 
3 15
y x
2 2
   
Gabarito: “d”. 
 
5) Dada a reta r :2x 3y 5 0   e o ponto 
𝑃(5,6), a distância de 𝑃 à reta 𝑟 é 
a) 91 
b) 30 13 
c) 3 91 / 91 
d) 3 13 / 13 
Resolução 
Do estudo da Geometria Analítica, temos 
que a distância entre ponto e reta é dada 
por: 
 
2 5 3 6 5 3 3 13
d
13132² 3 ²
   
  
 
 
Gabarito: “d”. 
 
6) A equação reduzida da reta que passa 
pelos pontos 𝐴(0,1) e 𝐵(6,8) é dada por 
a) 𝑦 = 7𝑥 + 1 
b) 𝑦 = 6𝑥 + 1 
c) 
7
y x 1
6
  
d) 
6
y x 1
7
  
Resolução 
Do estudo da geometria analítica, temos 
que a equação da reta que passa pelos 
pontos 𝐴 𝑒 𝐵 é dada pela seguinte equação: 
 
7x 6y 6 0    
Logo, sua equação reduzida é: 
7
y x 1
6
  
Gabarito: “c”. 
 
7) O valor de a para que os pontos 𝐴(−1,3 
− a), 𝐵(3, a + 1) 𝑒 𝐶(0, −1) sejam 
colineares é um número real 
a) Primo 
b) Menor que 1 
c) Positivo e par 
d) Compreendido entre 2 e 5 
Resolução 
Para que os três pontos sejam colineares 
eles devem obedecer a seguinte equação: 
 
2a 14 0 a 7     
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
Veja que 7 é um número primo. 
Gabarito: “a”. 
 
8) Analisando o gráfico, temos que a reta 
forma com os eixos coordenados um 
triângulo de 4 unidades de área. 
 
Marque a alternativa correspondente à 
equação da reta que passa pelos pontos 𝑃 𝑒 
𝑄. 
a) 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 
b) −2𝑥 + 𝑦 = 4 
c) 2𝑥 + 𝑦 = −4 
d) 2𝑥 − 𝑦 = 4 
Resolução 
O triângulo 𝑂𝑃𝑄 possui área 4, do que 
temos que: 
pq
4 pq 8
2
   
Além disso, os pontos 𝑃, 𝑄 𝑒 (1,2) são 
colineares, do que segue que: 
 
q 2p pq 8    
Multiplicando essa equação por 𝑝, vem: 
pq 2p² 8p 8 2p² 8p 0       
 p² 4p 4 0 p 2 ² 0 p 2         
Logo, temos: 
2q 8 q 4   
O coeficiente angular dessa reta é: 
q 0 4
m 2
0 p 2

   
 
 
Ou seja: 
y 2x b   
Passa pelo ponto (2,0): 
0 2 2 b b 4      
A reta é, portanto: 
y 2 4   
Gabarito: “a”. 
 
9) O coeficiente angular da reta que passa 
pelos pontos 𝐴(−1,3) 𝑒 𝐵(2, −4) é 
a) 
1
2
 
b) 
7
3
 
c) 
2
2
 
d) 
4
3
 
Resolução 
Do estudo da geometria analítica, temos 
que o coeficiente angular de uma reta, 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
dados dois pontos, pode ser calculado 
como: 
 3 4 7m
1 2 3
 
  
 
 
Gabarito: “b”. 
 
10) Para que os pontos 𝐴(2,0), 𝐵(a, 1) 𝑒 
𝐶(a + 1,2) estejam alinhados, é necessário 
que o valor de a seja 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
Resolução 
Para que os três pontos estejam alinhados 
eles devem obedecer a seguinte equação: 
 
a 3  
Gabarito: “c”. 
 
11) Sejam as retas 𝑟 𝑒 𝑠 de equações 𝑦 = 
2𝑥 − 3 𝑒 𝑦 = −3𝑥 + 2. A tangente do ângulo 
agudo formado pelas retas 𝑟 𝑒 𝑠 é 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 
3
3
 
Resolução 
Sabemos que a tangente do ângulo agudo 
entre duas retas é calculada por: 
1 2
1 2
m m
tg
1 m m


 
 
Nesse caso, temos 
1
m 2 𝑒 
2
m 3  . Assim: 
 
 
2 3 5
tg 1
51 2 3

 
  
  
 
Gabarito: “b”. 
 
12) As retas 𝑦 = 𝑘𝑥 + 2 𝑒 𝑦 = −𝑥 + 𝑚 
interceptam-se no ponto (1,4). Assim, o 
valor de 𝑘 + 𝑚 é 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 5 
Resolução 
Se elas se interceptam no ponto (1,4), 
então ele pertence a ambas as retas. Disso, 
temos que: 
4 k 2 k 2    
E: 
4 1 m m 5     
Por fim: 
k m 2 5 7    
Gabarito: “b”. 
 
13) Se os pontos 𝐴(2,3), 𝐵(4,0) e 𝐶(0, 𝑘) 
estão alinhados, então o valor de 𝑘 é um 
número 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
a) Ímpar 
b) Primo 
c) Múltiplo de 5 
d) Múltiplo de 3 
Resolução 
Para que três pontos estejam alinhados 
eles devem obedecer: 
 
Veja que 6 3 2  , ou seja, é múltiplo de 3. 
Gabarito: “d”. 
 
14) Considere o segmento que une os 
pontos (−1, −3) 𝑒 (5,5) e uma reta 
perpendicular a ele. O coeficiente angular 
dessa reta é 
a) −2/5 
b) −3/4 
c) 1/2 
d) 2/3 
Resolução 
Seja 𝑟 a reta que une os pontos dados. Seu 
coeficiente angular é: 
r
3 5 8 4
m
1 5 6 3
 
   
  
 
Seja 𝑠 a reta perpendicular, então: 
s s
4 3
m 1 m
3 4
      
Gabarito: “b”. 
 
15) Os pontos 𝑀(−2, a), 𝑁(a, 5)𝑒 𝑃(0, a) 
estão alinhados. Assim, o quadrante a que 
𝑁 pertence é o 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
Resolução 
Para que três pontos estejam alinhados 
eles devem obedecer: 
 
10 2a 0 a 5     
Assim: 
𝑁 = (5,5) 
Que pertence ao 1º quadrante. 
Gabarito: “a”. 
 
16) Se (𝑟)𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0 𝑒 (𝑠)8𝑥 + (𝑡 − 
1)𝑦 − 2 = 0 são duas retas paralelas, então 
𝑡 é o múltiplo de 
a) 3 
b) 5 
c) 7 
d) 9 
Resolução 
Duas retas paralelas possuem mesmo 
coeficiente angular. Disso, temos: 
r
1
m
6
  
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
s
8
m
1 t


 
Mas 
s r
m m , logo: 
 
1 8
t 1 48 t 49
6 1 t
      

 
Veja que t 7 7  , ou seja, 𝑡 é múltiplo de 7. 
Gabarito: “c”. 
 
17) Complete de maneira correta: “O 
ponto de interseção das retas 𝑦 = 2𝑥 + 4 𝑒 
𝑦 = −3𝑥 − 1 pertence ao __ quadrante”. 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
Resolução 
Basta igualar o 𝑦 de ambas as equações: 
2x 4 3x 1 5x 5 x 1          
Do que segue que: 
 y 2 1 4 2     
O ponto é (−1,2), ou seja, está no 2º 
quadrante. 
Gabarito: “b”. 
 
18) A equação segmentária da reta que 
passa pelos pontos 𝐴(−2, −7) e 𝐵(1, −5) é 
a) 
3y 2x
1
17 17
  
b) 
2x 3y
1
17 17
  
c) 
3x 2y
1
17 17
  
d) 
3y 2x
1
17 17
  
Resolução 
Do estudo da Geometria Analítica, sabemos 
que a reta que passa por dois pontos 
obedece a seguinte equação: 
 
2x 3y 17 0    
Do que temos que a equação segmentária é 
dada por: 
2x 3y
1
17 17
  
Gabarito: “b”. 
 
19) A equação da reta que passa pelo 
ponto 𝐸(−1, −3) e que tem 45° de 
inclinação é 
a) 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 
b) 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 
c) 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 
d) 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 
Resolução 
Seja a reta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Se sua inclinação 
vale 45°, temos: 
m tg 45 1  
Ou seja: 
y x b  
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
Como ela passa por 𝐸, vem: 
3 1 b b 2       
Do que segue que a reta é: 
y x 2 ou x y 2 0     
Gabarito: “b”. 
 
20) A reta 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 é perpendicular 
à reta 
a) 2𝑥 − 3𝑦 = 5 
b) 4𝑥 + 6𝑦 = 1 
c) 3𝑥 + 2𝑦 = 0 
d) 6𝑥 − 4𝑦 = 10 
Resolução 
O coeficiente angular da reta dada é: 
1
3
m
2
 
A reta perpendicular a ela: 
3 2
m 1 m
2 3
     
Dentre as alternativas, apenas o item 𝑏 
satisfaz esse coeficiente angular. 
Gabarito: “b”.