desafio matematica (87)

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Resposta: \( y(x) = c_1x^2 + c_2x^2\ln|x| + \frac{x^4}{6} \). 
 
77. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas \( 
y = \sqrt{x} \) e \( y = x \) em torno da linha \( y = 1 \). 
 
 Resposta: \( \frac{4\pi}{3} \). 
 
78. Calcule a derivada parcial de segunda ordem de \( f(x, y) = \ln(xy) \) em relação a \( x \) 
e depois em relação a \( y \). 
 
 Resposta: \( f_{xx} = -\frac{1}{x^2y} \), \( f_{yy} = -\frac{1}{xy^2} \). 
 
79. Determine a solução da equação diferencial \( y'' + 4y = 2\sin(2x) \) com condições 
iniciais \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \). 
 
 Resposta: \( y(x) = \sin(2x) \). 
 
80. Encontre o ponto crítico da função \( f(x, y) = x^3 + y^3 - 6xy - 2 \). 
 
 Resposta: Ponto crítico em \( (1, 1) \). 
 
81. Calcule a integral \( \iint_R xy \, dA \), onde \( R \) é a região delimitada pelas curvas \( y 
= \sqrt{x} \) e \( y = x^2 + 1 \). 
 
 Resposta: \( \frac{5}{6} \). 
 
82. Determine a solução geral da equação diferencial \( xy'' - 2y' = 0 \). 
 
 Resposta: \( y(x) = c_1x^2 + c_2 \). 
 
83. Encontre a área da região na primeira curva em relação à segunda curva \( y = \sqrt{x} 
\) e \( y = 2x - 1 \).