Relações Métricas em Polígonos

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Etapa Ensino Fundamental
Anos Finais
Pitágoras – Aplicação de 
relações métricas em 
polígonos regulares: 
triângulo equilátero
9º ANO –
Aula 17 – 3º Bimestre
Matemática
● Polígonos regulares 
inscritos na 
circunferência;
● Teorema de Pitágoras: 
aplicação nas relações 
métricas de polígonos 
inscritos.
● Verificar a relação métrica dos 
lados e do apótema de um 
triângulo equilátero inscrito 
numa circunferência;
● Calcular a medida do apótema 
e dos lados e o perímetro de 
triângulos equiláteros inscritos 
na circunferência.
Conteúdo Objetivos
Para começar
𝑙
2
a
r
𝑙
2
𝑙 𝑙
No triângulo equilátero ao lado inscrito 
numa circunferência, quais são os 
elementos que aparecem na imagem?
Foco no conteúdo
O triângulo equilátero inscrito
No triângulo equilátero inscrito, temos:
• 𝑙: o lado do triângulo;
• a: o apótema do triângulo;
• r: o raio da circunferência.
Com a aplicação da semelhança de triângulos e 
do teorema de Pitágoras, podemos determinar 
relações métricas importantes entre o lado e o 
apótema do triângulo inscrito e o raio da 
circunferência.
𝑙
2
a
r
𝑙
2
𝑙 𝑙
Foco no conteúdo
Vamos partir da relação métrica do apótema 
em relação ao raio da circunferência:
𝑎 =
𝑟
2
Aplicando o teorema de Pitágoras:
𝑟2 = 𝑎2 +
𝑙
2
2
→ 𝑟2 =
𝑟
2
2
+
𝑙
2
2
𝑟2 −
𝑟2
4
=
𝑙2
4
→
4𝑟2
4
−
𝑟2
4
=
𝑙2
4
…
Na prática
Atividade 1
Complete a relação métrica entre o lado do triângulo equilátero 
inscrito e o raio da circunferência que iniciamos no slide anterior: 
Respondam ao professor.
𝑟2 = 𝑎2 +
𝑙
2
2
→ 𝑟2 =
𝑟
2
2
+
𝑙
2
2
𝑟2 −
𝑟2
4
=
𝑙2
4
→
4𝑟2
4
−
𝑟2
4
=
𝑙2
4
…
Na prática
𝒓𝟐 = 𝒂𝟐 +
𝒍
𝟐
𝟐
→ 𝒓𝟐 =
𝒓
𝟐
𝟐
+
𝒍
𝟐
𝟐
𝒓𝟐 −
𝒓𝟐
𝟒
=
𝒍𝟐
𝟒
→
𝟒𝒓𝟐
𝟒
−
𝒓𝟐
𝟒
=
𝒍𝟐
𝟒
…
Terminando a relação entre o lado 
do triângulo equilátero e o raio, 
temos:
𝟒𝒓𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝒍𝟐
𝟑𝒓𝟐 = 𝒍𝟐
𝟑𝒓² = 𝒍
𝒓 𝟑 = 𝒍 𝒐𝒖 𝒍 = 𝒓 𝟑
Atividade 1
Correção
Na prática
Respondam no caderno.
Calculem o comprimento do apótema e do lado de um triângulo 
equilátero inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Considerem 
3 = 1,73.
a
r
Lembrem-se:
𝒍 = 𝒓 𝟑
𝒂 =
𝒓
𝟐
Atividade 2
Na prática
Sabemos que o apótema 
corresponde à metade da 
medida do raio:
𝒂 =
𝒓
𝟐
𝒂 =
𝟏𝟎
𝟐
𝒂 = 𝟓 𝒄𝒎
Medida do lado:
𝒍 = 𝒓 𝟑
𝒍 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟏, 𝟕𝟑
𝒍 = 𝟏𝟕, 𝟑 𝒄𝒎
Atividade 2
Correção
Na prática
Atividade 3
a. 20 3 cm
b. 60 cm
c. 180 cm
d. 150 cm Mostrem a alternativa correta.
Qual será o perímetro de um triângulo equilátero inscrito numa
circunferência, sabendo que a medida do apótema é igual a 10 3 cm?
Na prática
a = 10 𝟑 cm
𝒂 =
𝒓
𝟐
𝟏𝟎 𝟑 =
𝒓
𝟐
𝒓 = 𝟐𝟎 𝟑 𝒄𝒎
𝒍 = 𝒓 𝟑
𝒍 = 𝟐𝟎 𝟑 ∙ 𝟑
𝒍 = 𝟐𝟎 ∙ 𝟑
𝒍 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎
Perímetro
P = 3 ∙ 𝒍
P = 3 ∙ 60
P = 180 cm
Alternativa c.
a. 20 3 cm
b. 60 cm
c. 180 cm
d. 150 cm
Qual será o perímetro de um triângulo equilátero inscrito numa
circunferência, sabendo que a medida do apótema é igual a 10 3 cm?
Correção
Atividade 3
Aplicando
Respondam no caderno.
Considerem que o triângulo ABC está inscrito em uma circunferência 
e que a distância entre OC é 8 cm e calculem:
a) a medida do lado 𝐵𝐶;
b) a medida do apótema 𝑂𝑀; 
c) a medida do segmento 𝐵𝑀.
A B
C
O
M
Atividade 4
Aplicando
a) a medida do lado BC:
𝑩𝑪 = 𝒓 𝟑
𝑩𝑪 = 𝟖 𝟑 𝒄𝒎
b) medida do apótema OM:
𝑶𝑴 =
𝒓
𝟐
=
𝟖
𝟐
= 𝟒 𝒄𝒎
Correção
Atividade 4
𝒓 = 𝟖𝒄𝒎
𝑶𝑪 = 𝑶𝑩 = 𝒓 = 𝟖𝒄𝒎
𝑨𝑪 = 𝑨𝑩 = 𝑩𝑪 = 𝒍 = 𝒓 𝟑
𝑶𝑴 = 𝒂 =
𝒓
𝟐
(𝑶𝑩)² = (𝑶𝑴)² + (𝑩𝑴)²
c) a medida do segmento 𝐵𝑀:
(𝑶𝑩)² = (𝑶𝑴)² + (𝑩𝑴)²
(𝟖)² = (𝟒)² + (𝑩𝑴)²
𝑩𝑴 = 𝟔𝟒 − 𝟏𝟔
𝑩𝑴 = 𝟒𝟖 = 𝟐² ∙ 𝟐² ∙ 𝟑
𝑩𝑴 = 𝟒 𝟑 𝒄𝒎
O que aprendemos hoje?
● Vimos a relação métrica dos lados e o apótema de 
um triângulo equilátero inscrito numa circunferência;
● Calculamos a medida do apótema e dos lados e o 
perímetro de triângulos equiláteros inscritos na 
circunferência.
𝒍 = 𝒓 𝟑 𝒂 =
𝒓
𝟐
Tarefa SP
Localizador: 97719
1. Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com 
seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
2. Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
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4. Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
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Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
http://tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br/
http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
Referências
LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a 
gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria da Educação. Currículo Paulista 
do Ensino Fundamental. São Paulo, 2019. 
PARANÁ (ESTADO). Secretaria da Educação. Material de Apoio ao 
Professor. Paraná, 2022.
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slides 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 – Imagens elaboradas pelo 
autor.
Material
Digital
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