Arq5_IntegracaoPorPartes_slide14

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Técnicas de Integração – Integração Por Partes
1. Integração por Partes
A integral de um produto geralmente não é o produto das integrais
individuais, ou seja:
É fácil perceber que:
Por exemplo:  +=+= C
x
dxxC
x
dxx
3
e
2
3
2
2
  dxxdxxdxxx )(
  dxxgdxxfdxxgxf )()(aigualénão)()(
1
Técnicas de Integração – Integração Por Partes
Assim, a integração por partes é uma técnica para simplificar integrais
da forma:
 dxxgxf )()(
na qual f pode ser derivada e g pode ser integrada sem dificuldade.
2
➢ Exemplo:  dxex
x



=
=
facilmenteintegradaserpode)(
derivadaserpode)(
xexg
xxf
Integração por Partes 
na qual cada parte do integrando aparece novamente
após repetidas derivações e integrações.
A integração por partes também se aplica a integrais do tipo:
 dxxe
x sen
➢ Regra do Produto na Forma Integral
Se f e g são funções deriváveis de x, pode-se dizer que:
)()()()()]()([ xgxfxgxfxgxf
dx
d
+=
3
Integração por Partes
Do slide anterior:  += dxxgxfdxxgxfdxxgxfdx
d
)()()()()]()([
Rearranjando, tem-se:
 −= dxxgxfdxxgxfdx
d
dxxgxf )()()]()([)()(
o que leva à fórmula da integração por partes:
 −= dxxgxfxgxfdxxgxf )()()()()()(
4
Integração por Partes
Na forma diferencial:



==
==
dxxgdvxgv
dxxfduxfu
)()(
)()(
 −= duvvudvu
5
OBS: Várias escolhas de u e dv tornam-se disponíveis.
 −= duvvudvu deve ser mais fácil de calcular do que  dvu
Integração por Partes
 dxxx cos➢ Exemplo 1: Calcule a integral usando a técnica de
Integração por Partes
▪ Opção 1: dxxdvxu cose == xvdxdu sene ==
Assim:
Cxxxdxxxxdxxx +−−==  )cos(sensen-sencos
Finalmente:
Cxxxdxxx ++= cossencos
6
Integração por Partes
▪ Opção 2: dxdvxxu == ecos
xvdxxxxdu =−= e)sen(cos
 −= dxxxxxxxdxxx )sen(cos-coscos
2 Mais difícil do 
que a inicial.
7
▪ Opção 3: dxxxdvu cose1 == Como calcular v ?
Integração por Partes
8
▪ Opção 4:
 −−





= dxx
xx
xdxxx )sen(
22
coscos
22
dxxdvxu == ecos
2
esen
2x
vdxxdu =−=
Mais difícil do 
que a inicial.
Integração por Partes
OBS1: O objetivo desta técnica é sair de uma integral que não
se sabe calcular para uma integral conhecida. Contudo,
nem sempre isso é possível.
OBS2: Geralmente escolhe-se a parcela “dv” como sendo a
parte do integrando que se sabe integrar de maneira
imediata. A parcela restante é o “u”. 
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Integração por Partes
 dxex
x2
➢ Exemplo 2: Uso repetido da técnica de Integração por Partes
(*)
Assim:




==
==
xx evdxedv
dxxduxu 22
 −=−= dxexexdxxeexdxex
xxxxx 22 222
(*)  dxex
x



==
==
xx evdxedv
dxduxu
Ceexdxeexdxex xxxxx +−=−= 
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Integração por Partes
Do slide anterior:
Finalmente:
Ceexdxeexdxex xxxxx +−=−= 
)(222 Ceexexdxex xxxx +−−=
1
22 22 Ceexexdxex xxxx ++−=
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Integração por Partes
 dxxe
x cos
OBS: A técnica do Exemplo 2 pode ser usada para qualquer integral 
(*)
➢ Exemplo 3: Calcule a integral abaixo usando Integração por Partes
positivointeironúmeroumsendo; ndxex xn



==
==
xvdxxdv
dxedueu xx
sencos
 −= dxxexedxxe
xxx sensencos
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Integração por Partes
 dxxe
x sen(*)



−==
==
xvdxxdv
dxedueu xx
cossen
 +−= dxxexedxxe
xxx coscossen
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Assim:
 −+= dxxexexedxxe
xxxx coscossencos
Surge dos 
dois lados
Cxexedxxe xxx ++= cossencos2
]coscos[sencos  +−−= dxxexexedxxe
xxxx
Integração por Partes
Finalmente: 1)cossen(
2
cos Cxx
e
dxxe
x
x ++=
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 dxxx )sen(
2
➢ Exercícios: Calcule as integrais abaixo:
 dxxx ln
a.
b.
c.  dxxx )2(sec2
2
Cxxx +





+ 2cosln
2
1
2tg
C
x
x
x
+−
4
ln
2
22
Respostas
a. 
b.
c.
Cxxxxx +++− cos2)sen(2cos2
Integração Tabular
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➢ Integrais da forma na qual ƒ pode ser derivada
repetidamente até se tornar nula e a função g pode ser
integrada repetidamente sem dificuldades são integrais
candidatas à solução utilizando a técnica de integração por
partes.
 dxxgxf )()(
➢ Se for necessária a realização de muitas repetições até que a
integral seja resolvida, o cálculo se torna muito trabalhoso.
Nestes casos, é interessante o uso da INTEGRAÇÃO
TABULAR.
Integração Tabular
f (x) e suas derivadas g(x) e suas integrais
x2 ex
2x ex
2 ex
0 ex
 dxex
x2
➢ Exemplo 2:
(+)
(+)
(-)
Ceexexdxex xxxx ++−= 22
22
Igual ao obtido 
anteriormente
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Integração por Partes – Integrais Definidas
Sendo f’ e g’ funções contínuas ao longo do intervalo [a, b], tem-se:
 −=
b
a
b
a
b
a
dxxgxfxgxfdxxgxf )()()()()()(
➢ Exemplo: Determine a área
limitada pela curva y = x (sen x)
e pelo eixo x nos intervalos
abaixo.
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Integração por Partes – Integrais Definidas
a.
b.
c.
 x0
 2 x
 32  x
=

0
dxxsenxA
−=


2
dxxsenxA
=


3
2
dxxsenxA
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Para calcular a área solicitada, percebe-se que é necessário dividir o
intervalo [0, 𝜋] em três subintervalos:
Integração por Partes – Integrais Definidas
Resolvendo a integral indefinida:
a.  x0
 dxxsenx



−==
==
xvdxxdv
dxduxu
cossen
xsenxxdxxxxdxxsenx +−=+−=  coscoscos
( ) ( )  =−+−=+−= 0coscos
0
senxsenxxA
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Integração por Partes – Integrais Definidas
b.
c.
 2 x
 32  x
( ) 

2
cos xsenxxA +−−=
( ) ( )  3cos22cos2 =−−−= sensenA
( ) 

3
2
cos xsenxxA +−=
( ) ( )  522cos233cos3 =−++−= sensenA
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xsenxxdxxxxdxxsenx +−=+−=  coscoscos
Área final = π + 3π + 5π = 9π
Integração por Partes
➢ Exercícios: Calcule as integrais abaixo utilizando a técnica de 
Integração por Partes
dy
e
y
y
1
0
2a.
b.  + dxxx )1(ln
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Resp:
2
4
3
4
1 −− e