AULA 1_CALCULO

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TL 0006 Fundamentos de 
Cálculo para Engenharia
Profa. Cristiane Ruiz Gomes
Números Reais
 Definição de Corpo dos Números Reais:
 Um corpo é um conjunto K, munido de duas operações, chamadas adição e 
multiplicação, que satisfazem os 9 axiomas de corpo abaixo:
 Notação: 𝐾,+, ∙
 Axiomas da Adição
 A1: Associatividade: ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐾, tem-se 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
 A2: Comutatividade: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾, tem-se 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
 A3: Elemento Neutro: Existe 0 ∈ 𝐾 tal que 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ 𝐾
 A4: Simétrico: Todo elemento 𝑥 ∈ 𝐾 possui um simétrico −𝑥 ∈ 𝐾 tal que 
𝑥 + −𝑥 = 0
 Axiomas da Multiplicação
 M1: Associatividade: : ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐾, tem-se 𝑥. 𝑦 . 𝑧 = 𝑥. (𝑦. 𝑧)
 M2: Comutatividade: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾, tem-se 𝑥. 𝑦 = 𝑦. 𝑥
 M3: Elemento Neutro: Existe 1 ∈ 𝐾 tal que 1 ≠ 0 𝑒 𝑥 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑥 = 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ 𝐾
 M4: Inverso multiplicativo: Todo 𝑥 ≠ 0 𝑒𝑚 𝐾 possui inverso 𝑥−1, tal que 𝑥 ∙
𝑥−1 = 1
 D1: Axioma da Distributividade: Dados x, y, z em K, tem-se
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧
 Definição 1: Se 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ :
i) 𝑎 < 𝑏 se e somente se 𝑏 − 𝑎 for positivo;
ii) 𝑎 > 𝑏 se e somente se a − 𝑏 for positivo;
Relação de Ordem no Conjunto dos Números 
Reais
 Definição 2: Se 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ :
i) 𝑎 ≤ 𝑏 se e somente se for válida uma das duas relações 𝑎 < 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏 ;
ii) 𝑎 ≥ 𝑏 se e somente se for válida uma das duas relações 𝑎 > 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏 ;
 Teorema 1: Se 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ :
i) 𝑎 > 0 se e somente se 𝑎 for positivo;
ii) 𝑎 < 0 se e somente se 𝑎 for negativo;
 Teorema 3: Se 𝑎 , 𝑏 𝑒 𝑐 ∈ ℝ e se 𝑎 > 𝑏 e 𝑏 > 𝑐 então 𝑎 < 𝑐.
 Teorema 4: Se 𝑎 , 𝑏 𝑒 𝑐 ∈ ℝ:
i) Se 𝑎 < 𝑏 então 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
ii) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 > 0 então 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
iii) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 < 0 então 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
 Teorema 2: Se 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ :
i) 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0 então 𝑎 + 𝑏 > 0;
ii) 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0 então 𝑎𝑏 > 0;
 Teorema 5: Se 𝑎 > 𝑏 e c > 𝑑 então 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑.
 Intervalos
 Definição 3: O valor absoluto de 𝑥, denotado por 𝑥 , é definido por
 𝑥 = 
𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 Teorema: 𝑥 < 𝑎 ⟺ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎, onde 𝑎 > 0.
 Corolário: : 𝑥 ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, onde 𝑎 > 0.
 Teorema: Se 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ , então, 𝑎. 𝑏 = 𝑎 . 𝑏
 Teorema: Se 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0, então, 
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
 Teorema (Desigualdade Triangular): Se 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ , então 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏
Demonstração:
 Corolário 1: Se 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ , então 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏
 Corolário 2: Se 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ , então 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 − 𝑏