Matemática Elementar I - Caderno de Atividades

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Matemática
Elementar I
Autor 
Leonardo Brodbeck Chaves
Matemática
Elementar I
Caderno de Atividades
2009
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www.iesde.com.br
C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.
Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba: 
IESDE Brasil S.A., 2009.
196 p.
ISBN: 978-85-7638-798-5
1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
 CDD 510
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 Leonardo Brodbeck Chaves
Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade 
Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em 
Eletrônica também pela UFPR.
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Sumário
Contagem | 11
1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11
2. O sistema de numeração decimal | 13
Adição e subtração | 17
1. A adição | 17
2. A subtração | 18
Multiplicação e divisão | 21
1. A multiplicação | 21
2. A divisão | 23
Frações (I) | 25
1. As frações | 25
2. Resolução de problemas com frações | 28
3. Frações próprias e impróprias | 30
4. Simplificação de frações | 31
Frações (II) | 35
1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35
2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36
3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37
4. Multiplicação com frações | 40
5. Divisão com frações | 41
Potenciação | 43
1. Potenciação | 43
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Expressões numéricas | 47
1. Introdução | 47
2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47
Geometria (I) | 53
1. Polígono | 53
2. Ângulos | 55
3. Triângulo | 55
4. Quadrilátero | 56
5. Perímetro de um polígono | 57
6. Medida do comprimento da circunferência | 62
Geometria (II) | 65
1. Unidade de área | 65
2. Áreas de figuras planas | 66
3. Volumes | 70
Razão e proporção | 75
1. Razão | 75
2. Proporção | 79
3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85
1. Grandezas diretamente proporcionais | 85
2. Grandezas inversamente proporcionais | 88
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 95
1. Proporcionalidade composta | 95
2. Regra de três composta | 97
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Porcentagem e juro | 105
1. Porcentagem | 105
2. Juro | 111
Equações do 1.o grau | 117
1. Introdução | 117
Equações do 2.o grau | 125
1. Noção de equação do 2.o grau | 125
2. Forma geral | 125
3. Solução de uma equação do 2.o grau | 127
4. Resolução de problemas do 2.o grau | 137
5. Problemas que envolvem equações do 2.o grau | 138
Sistemas lineares 2 x 2 | 143
1. Introdução | 143
2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144
3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144
4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146
5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151
6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153
Radiciação | 159
1. Introdução | 159
2. Quadrados perfeitos | 160
3. Raiz quadrada | 161
Gráfico e função | 163
1. Plano cartesiano | 163
2. Função afim | 164
3. Função quadrática | 168
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Apresentação
O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E 
desde o surgimento do homem foi dessa forma.
Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações 
matemáticas:
a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;
b) o círculo da lua cheia;
c) um cristal de gelo com angulação precisa;
d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;
e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre 
outros.
Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias 
matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com 
menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante 
a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da 
natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).
Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado 
a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais 
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(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de 
comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios 
de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, 
percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua 
sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações 
que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, 
frente às situações da realidade.
A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de 
adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas 
de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com 
agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma 
máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências 
lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com 
maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.
Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias 
e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio 
de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a 
concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma 
ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, 
que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e 
desenvolvimento para a sociedade.
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Frações (II)
1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c)
Estudaremos um dispositivo prático para a obtenção do m.m.c. Por exemplo, para obtermos 
o m.m.c entre 15 e 25 devemos dividi-los sucessivamente pelos números primos. Números primos 
são aqueles que são divisíveis somente por 1 e por eles mesmos. Assim, números primos são 2, 3, 
5, 7, 11, 13, 17, etc.
Veja os exemplos:
a)
15, 25 3
5, 25 5
1, 5 5
1, 1 3 x 5 x 5 = 75
 O m.m.c entre 15 e 25 é igual a 75.
b) Agora vamos calcular o m.m.c entre 2, 9 e 18.
2, 9, 18 2
1, 9, 9 3
1, 3, 3 3
1, 1, 1 2 x 3 x 3 = 18
 O m.m.c entre 2, 9 e 18 é o número 18.
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades36
2. Adição e subtração de fração 
 com o mesmo denominador
Quando as frações têm o mesmo denominador, juntamos, retiramos ou comparamos 
pedaços do mesmo tamanho. Para efetuarmos uma adição ou uma subtração com frações do 
mesmo denominador,adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador 
comum.
Veja as figuras:
7
9
4
9
3
9 Adição:
43
9 9
+ =
7
9
7
9
2
9
5
9
Subtração:
27
9 9
– =
5
9
Observe mais alguns exemplos:
a) 
1
17
+ =7
17
+ 3
17
11
17 
c) 
3
10
+ = 11
10
8
10
b) 
19
43
– =5
43
14
43 
d) 
25
13
– = 14
13
11
13
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Frações (II) 37
Exercícios
1. Calcule:
a) 
3
17
+
8
17
b) 
7
11
+ 2
11
+ 5
11
c) 
17
18
– 3
18
d) 
16
10
– 8
10
– 3
10
3. Adição e subtração de 
 frações com denominadores diferentes
Quando os denominadores de duas ou mais frações são diferentes, elas representam 
quantidades de “pedaços” internos que têm tamanhos diferentes. Por isso, essas quantidades (os 
numeradores) não podem ser adicionados.
Então, como calcular 1
2
+ 1
6
 ?
Uma técnica para efetuar adições e subtrações com frações, cujos denominadores são 
diferentes, é encontrar frações equivalentes às frações dadas com denominadores iguais. Um 
modo que permite reduzir as frações a um mesmo denominador é encontrando o mínimo 
múltiplo comum ou m.m.c dos denominadores dados.
Veja, nos exemplos, como funciona:
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades38
a) 
7
3
+ =2
5
35
15
+ 6
15
= 41
15x x
3, 5 3
1, 5 5
1, 1 3 x 5 = 15
 m.m.c (3, 5) = 15
b) 
1
2
+ =1
3
3
6
+ 2
6
= 5
6x x
2, 3 2
1, 3 3
1, 1 2 x 3 = 6
 m.m.c (2, 3) = 6
c) 
18
7
+ 1
2
13
49
252
98x x
+ = 49
98
+ 26
98
+ 327
98
=x
7, 2, 49 2
7, 1, 49 7
1, 1, 7 7
1, 1, 1 2 x 7 x 7 = 98
 m.m.c (7, 2, 49) = 98
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Frações (II) 39
Exercícios
2. Calcule:
a) +
11
53
b) 
7
11
– 3
10
c) 
3
2
+ 1
6
– 1
2
d) 
7
9
+ 1
3
2
5
+
e) 
4
7
+ 1
8
2
3
+
f) 
42
101
+ 3
5
g) 
1
10
+ 1
3
1
5
–
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades40
4. Multiplicação com frações
O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o 
denominador é o produto dos denominadores.
Veja:
a
b
. c
d
= a . c
b . d
, sendo a, b, c e d números naturais e b e d diferentes de zero.
Acompanhe agora alguns exemplos:
a) 
1
3
. 3
4
= 1 . 3
3 . 4
= 3
12
, simplificando, 
1
4
=3 : 3
12 : 3
=3
12
b) 
2
3
. 1
3
= 2 . 1 . 7 = 14
45
. 7
5 3 . 3 . 5
c) 
1
5
. 1
5
= 1 . 1 . 1 = 1
125
. 1
5 5 . 5 . 5
Exercícios
3. Calcule:
a) 
1
5
. 1
2
b) 
3
7
. 3
14
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Frações (II) 41
c) 
12
13
. 1
8
d) 
8
9
. 9
8
e) 
3
4
. 2
3
5. Divisão com frações
Para dividirmos duas frações, multiplicamos a primeira pela segunda fração invertida.
Veja:
a) 
3
7
: 4
5
3
7
= . 5
4
= 15
28
b) 2 : 4 = 2 . 9 = 18
9 9 9 4 36
 Simplificando, 18 = 18 : 18 = 1
36 36 : 18 2
c) 2 : 2 = 2 . 3 = 6
3 3 3 2 6
 Simplificando, 6 = 6 : 6 = 1 = 1
6 6 : 6 1
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades42
Exercícios
4. Calcule:
a) 
1
3
: 1
2
b) 
7
8
: 3
4
c) 
11
10
: 1
3
d) 
12
15
: 5
8
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Gabarito
Frações (II)
1. a) 
11
17
b) 
14
11
c) 14 = 7
18 9
d) 5 = 1
10 2
2. a) 
8
15
b) 
37
110
c) 
7
6
d) 
68
45
e) 
229
168
f) 
513
505
g) 
13
30
3. a) 
1
10
b) 
9
98
Gabarito
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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades
c) 12 = 3
104 26
d) 72 = 1
72
 
e) 6 = 1
12 2
 
4. a) 
2
3
b) 28 = 7
24 6
 
c) 
33
10
d) 96 = 32
75 25
 
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