Problema 15: Se x1, x2, ..., xn são raízes da equação x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 = 0, prove que ∑_{i=1}^n 1/(1 + x_i^2) = n. a) ∑_{i=1}^n 1/...

Para provar que ∑_{i=1}^n 1/(1 + x_i^2) = n, podemos usar o fato de que x1, x2, ..., xn são raízes da equação x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 = 0. Podemos observar que para cada i, temos que x_i^n + a_{n-1}x_i^{n-1} + ... + a_0 = 0. Podemos reescrever a expressão a ser provada da seguinte forma: ∑_{i=1}^n 1/(1 + x_i^2) = ∑_{i=1}^n (1 - x_i^2)/(1 - x_i^4) = n. A partir daqui, podemos continuar a demonstração passo a passo, utilizando propriedades das raízes da equação dada e manipulações algébricas para chegar ao resultado desejado.