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**Explicação:** Utilizando as condições dadas, encontramos a forma explícita de \( f(x) 
\). 
 
14. **Problema 14:** 
 **Questão:** Encontre a derivada de \( y = \sin(\ln(\cos x)) \). 
 **Resposta:** \( y' = -\tan x \). 
 **Explicação:** Aplicando a regra da cadeia e derivando cada função 
componentemente, encontramos \( y' \). 
 
15. **Problema 15:** 
 **Questão:** Se \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) são raízes da equação \( x^n + a_{n-1}x^{n-1} + 
\cdots + a_0 = 0 \), prove que \( \sum_{i=1}^n \frac{1}{1 + x_i^2} = n \). 
 **Resposta:** \( \sum_{i=1}^n \frac{1}{1 + x_i^2} = n \). 
 **Explicação:** Utilizando a relação entre as raízes e os coeficientes da equação 
polinomial, demonstramos a igualdade. 
 
16. **Problema 16:** 
 **Questão:** Seja \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \). Encontre a série de Taylor de \( f(x) \) 
centrada em \( x = 0 \). 
 **Resposta:** \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \). 
 **Explicação:** Calculando as derivadas sucessivas de \( f(x) \) e avaliando em \( x = 0 
\), obtemos a série de Taylor. 
 
17. **Problema 17:** 
 **Questão:** Se \( f(x) \) é uma função contínua e \( f(0) = 0 \), \( f(1) = 1 \), e \( f'(x) > 0 \) 
para todo \( x \in [0, 1] \), prove que \( f(x) \geq x \) para todo \( x \in [0, 1] \). 
 **Resposta:** \( f(x) \geq x \) para todo \( x \in [0, 1] \). 
 **Explicação:** Aplicando o Teorema do Valor Médio, mostramos que \( f(x) \geq x \) 
para toda \( x \in [0, 1] \). 
 
18. **Problema 18:** 
 **Questão:** Se \( A \) é uma matriz invertível \( 2 \times 2 \) tal que \( A^2 - 3A + 2I = 0 \), 
onde \( I \) é a matriz identidade, encontre \( A^{-1} \). 
 **Resposta:** \( 
 
 A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). 
 **Explicação:** Encontramos a inversa de \( A \) a partir da equação dada. 
 
19. **Problema 19:** 
 **Questão:** Resolva a equação diferencial \( y'' - y = e^x \). 
 **Resposta:** \( y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \frac{1}{2} e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e 
encontramos uma solução particular usando o método de variação dos parâmetros. 
 
20. **Problema 20:** 
 **Questão:** Se \( f(x) \) é contínua em \( [a, b] \) e \( f(a) = f(b) = 0 \), prove que existe \( c 
\in (a, b) \) tal que \( f(c) + f'(c) = 0 \). 
 **Resposta:** Existe \( c \in (a, b) \) tal que \( f(c) + f'(c) = 0 \). 
 **Explicação:** Aplicando o Teorema de Rolle, garantimos a existência de tal \( c \). 
 
21. **Problema 21:** 
 **Questão:** Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela 
curva \( y = \sqrt{x} \) em torno da linha \( y = 2 \). 
 **Resposta:** \( \frac{32\pi}{3} \). 
 **Explicação:** Utilizando o método dos discos ou anéis, calculamos o volume do 
sólido de revolução. 
 
22. **Problema 22:** 
 **Questão:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{3} \). 
 **Explicação:** Aplicando a expansão de Taylor para \( \tan x \), encontramos o limite 
desejado. 
 
23. **Problema 23:** 
 **Questão:** Seja \( f(x) = \int_0^x e^{t^2} \, dt \). Encontre \( f''(x) \). 
 **Resposta:** \( f''(x) = 2xe^{x^2} \).