Aula 07-parte-i

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1 
 
Aula 7 – Parte 1 
1. Expressões Algébricas ...................................................................................................................... 2 
2. Monômios ou termos algébricos ................................................................................................... 5 
3. Monômios ou termos semelhantes .............................................................................................. 6 
4. Operações com monômios .............................................................................................................. 6 
5. Polinômios ............................................................................................................................................. 7 
6. Polinômios com uma variável ........................................................................................................ 8 
7. Operações com polinômios ............................................................................................................. 9 
8. Produtos Notáveis ............................................................................................................................ 12 
 
 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 2 
 
1. Expressões Algébricas 
 
Uma pessoa ganha R$ 30,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa 
pessoa ganhará após alguns dias de trabalho, podemos escrever a seguinte 
expressão algébrica: 
30 ∙ 𝑥 
A letra 𝑥 representa o número de dias trabalhados. 
Desta maneira: 
Se 𝒙 = 𝟑, então a pessoa ganhará 30 ∙ 𝟑 = 90 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
Se 𝒙 = 𝟕, então a pessoa ganhará 30 ∙ 𝟕 = 210 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
Se 𝒙 = 𝟏𝟓, então a pessoa ganhará 30 ∙ 𝟏𝟓 = 450 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
Observe que a letra 𝑥 foi substituída por vários números, ou seja, foi 
variando. Por essa razão, dizemos que 𝑥 é a variável. 
Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável. Vejamos alguns 
exemplos: 
3𝑥 + 4𝑦 → 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠: 𝑥 𝑒 𝑦 
2𝑎3 + 5𝑏 − 𝑐2 → 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑡𝑟ê𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠: 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐. 
IMPORTANTE 
Temos o costume de não escrever o sinal de multiplicação entre um número e 
uma letra ou entre duas letras. 
 
3 ∙ 𝑎 → Escreve-se 3𝑎 
2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 → Escreve-se 2𝑎𝑏 
 
Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, devemos seguir 
os seguintes passos: 
1) Substituir as letras pelos números reais dados. 
2) Efetuar as operações indicadas, seguindo esta ordem: 
I- Potenciação e radiciação 
II- Multiplicação e divisão 
III- Adição e subtração 
 
 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 3 
 
Exemplo 1. Calcular o valor numérico de 3𝒙 − 2𝒚 + 5𝒙𝒚 para 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 4. 
Basta “trocar” 𝑥 por 2 e 𝑦 por 4. 
3 ∙ 𝟐 − 2 ∙ 𝟒 + 5 ∙ 𝟐 ∙ 𝟒 = 6 − 8 + 40 = 38 
Exemplo 2. Calcular o valor numérico de 2𝑥2 − 2𝑥 + 3 para 𝑥 = −3. 
Basta substituir 𝑥 por −3. 
2 ∙ (−3)2 − 2 ∙ (−3) + 3 = 2 ∙ 9 + 6 + 3 = 27 
 
IMPORTANTE 
 
Utilizamos parênteses quando substituímos letras por números negativos. 
 
 
Exemplo 3. Calcular o valor numérico de 3𝑎2 + 2𝑎 − 5 para 𝑎 = 2/3. 
3 ∙ (
2
3
)
2
+ 2 ∙ (
2
3
) − 5 = 3 ∙
4
9
+
4
3
− 5 =
4
3
+
4
3
− 5 =
4 + 4 − 15
3
= −
7
3
 
IMPORTANTE 
 
Utilizamos parênteses quando substituímos letras por frações. 
 
 
Exemplo 4. Calcular o valor numérico de 
–𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 para 𝑎 = 2, 
𝑏 = −10 𝑒 𝑐 = 12. 
−(−10) + √(−10)2 − 4 ∙ 2 ∙ 12
2 ∙ 2
=
10 + √100 − 96
4
=
10 + √4
4
=
10 + 2
4
= 3 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 4 
 
IMPORTANTE 
Nem sempre é possível calcular o valor numérico de algumas expressões para 
determinados valores. 
Por exemplo, calcule o valor numérico da expressão 
5
𝑥−3
 para 𝑥 = 3. 
 
5
3 − 3
=
5
0
=? 
 
Lembre-se que não existe divisão por zero! Assim, o denominador de uma 
fração NUNCA poderá ser igual a zero. 
 
IMPORTANTE 
 
É de uso comum em álgebra usar notações do tipo 𝑃(𝑥) para expressões 
algébricas. 
𝑃(𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥 − 1
 
 
Quando aparecer algo do tipo “calcule 𝑃(2)", isto significa que devemos 
calcular o valor numérico da expressão para 𝑥 = 2. 
 
𝑃(2) =
2 + 1
2 − 1
= 3 
 
 
01. (ANEEL/ESAF) Se 
𝑥2+2𝑥−200
𝑦−200
= 0, então é necessariamente verdade 
que: 
a) 𝑥2 + 2𝑥 ≠ 200 𝑒 𝑦 = 200 
b) 𝑥2 + 2𝑥 = 200 𝑒 𝑦 = 200 
c) 𝑥2 + 2𝑥 = 200 𝑒 𝑦 ≠ 200 
d) 𝑥 = 0 𝑒 𝑦 ≠ 0 
e) 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑦 = 200 
Resolução 
Em qualquer fração, o denominador obrigatoriamente deve ser diferente de 
zero. Portanto, 
𝑦 − 200 ≠ 0 
𝑦 ≠ 200 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 5 
 
Para que a expressão acima seja igual a zero, o numerador deve ser igual a 0. 
𝑥2 + 2𝑥 − 200 = 0 
𝑥2 + 2𝑥 = 200 
Letra C 
2. Monômios ou termos algébricos 
 
Um monômio ou termo algébrico é um número ou um produto de números em 
que alguns deles são representados por letras. 
Exemplos: 
−5𝑥𝑦2 
2
5
𝑥 
𝑎𝑏2𝑐 
Observe que nestas expressões não aparecem adições nem subtrações. 
Em um monômio, destacamos o coeficiente e a parte literal. 
 
 
Nos nossos exemplos: 
 
−5𝑥𝑦2 
 
 
2
5
𝑥 
 
𝑎𝑏2𝑐 
 
 
Número Letras 
Coeficiente: −5 
Coeficiente: 
2
5
 
Coeficiente: 1 
Parte literal: 𝑥𝑦2 
Parte literal: 𝑥 
Parte literal: 𝑎𝑏2𝑐 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 6 
 
IMPORTANTE 
 
Em álgebra, 𝑥 significa 1 ∙ 𝑥 e – 𝑥 significa −1 ∙ 𝑥. 
 
3. Monômios ou termos semelhantes 
 
Monômios semelhantes ou termos semelhantes são aqueles que possuem a 
mesma parte literal. 
Exemplos: 
−4𝑥𝑦 𝑒 √3𝑥𝑦 são termos semelhantes. 
5𝑥2𝑦 𝑒 − 3𝑥2𝑦 são termos semelhantes. 
2𝑎𝑏 𝑒 − 3𝑏𝑎 são termos semelhantes. 
3𝑎2𝑏 𝑒 7𝑎𝑏2 não são termos semelhantes. 
4. Operações com monômios 
 
Vamos aprender como calcular a soma, diferença, produto e quociente de 
monômios. 
Vejamos um exemplo: 2𝑥2𝑦 + 5𝑥2𝑦 = (2 + 5)𝑥2𝑦 = 7𝑥2𝑦 
Devemos somar (ou subtrair) os coeficientes e repetir a parte literal. 
Observe que só podemos “simplificar” monômios semelhantes. Desta maneira, 
não podemos simplificar a expressão 2𝑥 + 3𝑦 porque os termos 2𝑥 e 3𝑦 não são 
termos semelhantes. 
Exemplo 5. Simplifique a expressão 2𝑥 + 3𝑥𝑦 + 4𝑦2 + 3𝑥 − 5𝑥𝑦. 
Resolução 
Observe que 2𝑥 + 3𝑥 = 5𝑥 e que 3𝑥𝑦 − 5𝑥𝑦 = −2𝑥𝑦. Assim, 
2𝑥 + 3𝑥𝑦 + 4𝑦2 + 3𝑥 − 5𝑥𝑦 = 5𝑥 + 4𝑦2 − 2𝑥𝑦. 
A expressão não pode mais ser simplificada porque 5𝑥, 4𝑦2 𝑒 − 2𝑥𝑦 não são 
termos semelhantes. 
Lembre-se que a multiplicação é 
comutativa. Portanto, não importa a 
ordem das letras! 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 7 
 
Para multiplicar monômios, devemos multiplicar os coeficientes e multiplicar as 
partes literais. Lembre-se que para multiplicar potências de mesma base, 
conservamos a base e somamos os expoentes e para dividir potências de 
mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes (estudaremos 
isto com muito mais detalhes nas aulas 04 e 06). 
 
Exemplo 6. Simplifique a expressão (−2𝑥𝑦2) ∙ (−3𝑥4𝑦3). 
(−2𝑥𝑦2) ∙ (−3𝑥4𝑦5) = (−2) ∙ (−3) ∙ 𝑥 ∙ 𝑥4 ∙ 𝑦2 ∙ 𝑦5 = +6𝑥5𝑦7 
IMPORTANTE 
Lembre-se que quando o expoente não é escrito, fica subentendido que o expoente é 
igual a 1. 
𝑥 = 𝑥1 
 
 
Exemplo 7. Simplifique a expressão (−8𝑥5𝑦3) ÷ (4𝑥2𝑦). 
(−8𝑥5𝑦3) ÷ (4𝑥2𝑦) =
−8𝑥5𝑦3
4𝑥2𝑦
= −2𝑥5−2𝑦3−1= −2𝑥3𝑦2 
5. Polinômios 
 
Polinômio é um monômio ou a soma de monômios não-semelhantes. 
São exemplos de polinômios: 
3𝑥 − 14 
2𝑥2 − 3𝑦 
2𝑥2 − 3𝑥 + 9 
2
3
𝑥 − 𝑦4 
Quando um polinômio apresenta termos semelhantes, devemos simplificá-los. 
Exemplo: 3𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 4𝑥2 = 7𝑥2 + 5𝑥𝑦 
Este polinômio foi escrito na sua forma mais simples. 
Se o polinômio não tiver termos semelhantes, ele pode receber alguns nomes 
especiais: 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 8 
 
𝑀𝑜𝑛ô𝑚𝑖𝑜 → 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 1 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 
𝐵𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 → 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 2 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 
𝑇𝑟𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 → 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 3 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 
Exemplo: 
7𝑥2 + 5𝑥𝑦 é um binômio. 
Os polinômios com mais de três termos não têm nome especial. 
6. Polinômios com uma variável 
 
É o polinômio que apresenta uma única letra como variável. 
Exemplos: 
−5𝑥3 + 2𝑥2 + 7 
𝑥 − 3𝑥2 + 5𝑥4 + 8 
Geralmente os polinômios são apresentados segundo as potências 
decrescentes da variável. 
−5𝑥3 + 2𝑥2 + 7 polinômio ordenado 
𝑥 − 3𝑥2 + 5𝑥4 + 8 polinômio não-ordenado 
Quando um polinômio estiver ordenado e estiver faltando uma ou mais 
potências da variável, dizemo que os coeficientes desses termos são zero e o 
polinômio é dito incompleto. 
−5𝑥3 + 2𝑥2 + 7 = −5𝑥3 + 2𝑥2 + 0𝑥 + 7 
 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 9 
 
7. Operações com polinômios 
 
Vamos adicionar dois polinômios: 
(3𝑥2 − 6𝑥 + 8) + (2𝑥2 + 8𝑥 − 5) = 3𝑥2 − 6𝑥 + 8 + 2𝑥2 + 8𝑥 − 5 = 5𝑥2 + 2𝑥 + 3 
Vamos subtrair dois polinômios: 
(3𝑥2 − 6𝑥 + 8) − (2𝑥2 + 8𝑥 − 5) = 3𝑥2 − 6𝑥 + 8 − 2𝑥2 − 8𝑥 + 5 = 𝑥2 − 14𝑥 + 13 
 
 
 
Para multiplicar um monômio por um polinômio devemos multiplicar todos os 
termos do polinômio pelo monômio utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação. 
3𝑥 ∙ (2𝑥2 + 8𝑥 − 5) = 3𝑥 ∙ 2𝑥2 + 3𝑥 ∙ 8𝑥 + 3𝑥 ∙ (−5) = 6𝑥3 + 24𝑥2 − 15𝑥 
 
 
Para multiplicar um polinômio por outro polinômio devemos multiplicar cada 
termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e, se possível, 
reduzir os termos semelhantes 
 
(3𝑥𝑦2 − 5𝑥) ∙ (2𝑥 − 4) = 3𝑥𝑦2 ∙ 2𝑥 + 3𝑥𝑦2 ∙ (−4) − 5𝑥 ∙ 2𝑥 − 5𝑥 ∙ (−4) = 6𝑥2𝑦2 − 12𝑥𝑦2 − 10𝑥² + 20𝑥 
 
 
(2𝑥 + 3) ∙ (−3𝑥 + 4) = 2𝑥 ∙ (−3𝑥) + 2𝑥 ∙ 4 + 3 ∙ (−3𝑥) + 3 ∙ 4 = −6𝑥2 + 8𝑥 − 9𝑥 + 12 = −6𝑥2 − 𝑥 + 12 
 
 
 
 
Devemos trocar os sinais dos 
termos do segundo par de 
parênteses. 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 10 
 
Para dividir um polinômio por um monômio devemos dividir cada termo do 
polinômio pelo monômio. 
(8𝑥4 − 6𝑥2 + 4𝑥) ÷ (−2𝑥) =
8𝑥4
−2𝑥
+
−6𝑥2
−2𝑥
+
4𝑥
−2𝑥
= −4𝑥3 + 3𝑥 − 2 
 
Lembre-se que para dividir potências de mesma base, conservamos a base e 
subtraimos o expoente. 
Vamos mostrar, através de um exemplo, a regra prática para efetuar a divisão 
de polinômios. 
 
 
 
 
O primeiro passo é dividir o primeiro termo do dividendo (de maior grau) 
−15𝑥3 pelo primeiro termo (de maior grau) do divisor 3𝑥. Obtemos −5𝑥2. 
−15𝑥3
3𝑥
= −5𝑥2 
 
 
O próximo passo é multiplicar −5𝑥2 pelos termos do divisor, colocando o 
resultado com o sinal trocado abaixo do dividendo. Adicionamos os termos 
semelhantes e baixamos os termos seguintes. 
−5𝑥2 ∙ (3𝑥 − 4) = −15𝑥3 + 20𝑥2 → 𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠. 
 
 
 
 
 
 
 
Os polinômios devem estar 
ordenados segundo as 
potências decrescentes da 
variável. 
−15𝑥3 + 29𝑥2 − 33𝑥 + 28 3𝑥 − 4 
Termo de maior 
grau 
Termo de maior 
grau 
−15𝑥3 + 29𝑥2 − 33𝑥 + 28 3𝑥 − 4 
−5𝑥2 
9𝑥2 − 33𝑥 + 28 
−15𝑥3 + 29𝑥2 − 33𝑥 + 28 3𝑥 − 4 
−5𝑥2 +15𝑥3 − 20𝑥2 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 11 
 
Repetimos todo o processo com o resto parcial. Dividimos 9𝑥2 por 3𝑥 e 
obtemos 3𝑥. Multiplicamos 3𝑥 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o 
resultado abaixo do resto parcial. 
 
 
 
 
Dividimos o primeiro termo −21𝑥 pelo primeiro termo do divisor 3𝑥. Obtemos 
−7, em seguida multiplicamos −7 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o 
resultado abaixo do resto parcial. 
 
 
 
 
 
 
Quando o resto é zero (como o nosso exemplo), dizemos que a divisão é 
exata. Desta forma, o polinômio −15𝑥3 + 29𝑥2 − 33𝑥 + 28 é divisível pelo 
polinômio 3𝑥 − 4. 
Observe a seguinte relação importantíssima: 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 = 𝑄𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 + 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 
No nosso caso, 
−15𝑥3 + 29𝑥2 − 33𝑥 + 28 = (−5𝑥2 + 3𝑥 − 7) ∙ (3𝑥 − 4) + 0 
Exemplo 8. Obtenha o polinômio que, dividido por (𝑥 − 2), dá o quociente 
(𝑥 + 1) e resto 4. 
Ora, sabemos que 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 = 𝑄𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 + 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 
𝐷 = 𝑄 ∙ 𝑑 + 𝑟 
𝐷 = (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 2) + 4 
−5𝑥2 + 3𝑥 
9𝑥2 − 33𝑥 + 28 
+15𝑥3 − 20𝑥2 
−15𝑥3 + 29𝑥2 − 33𝑥 + 28 3𝑥 − 4 
−9𝑥2 + 12𝑥 
−21𝑥 + 28 
−21𝑥 + 28 
−5𝑥2 + 3𝑥 − 7 
−9𝑥2 + 12𝑥 
9𝑥2 − 33𝑥 + 28 
+15𝑥3 − 20𝑥2 
−15𝑥3 + 29𝑥2 − 33𝑥 + 28 3𝑥 − 4 
+21𝑥 − 28 
0 
Quociente 
Resto 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 12 
 
𝐷 = 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑥 − 2 + 4 
𝐷 = 𝑥2 − 𝑥 + 2 
Portanto, o dividendo é 𝐷 = 𝑥2 − 𝑥 + 2. 
Observação: O grau do resto é sempre menor que o grau do divisor. 
Desta forma, se o divisor é do 2º grau, então o divisor é, no máximo, 
do 1º grau. Se o divisor é do 6º grau, então o resto é, no máximo, do 
5º grau. 
8. Produtos Notáveis 
 
Há alguns produtos de polinômios que ocorrem com muita frequência na 
álgebra e que são chamados de produtos notáveis. 
Quadrado da soma de dois termos 
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo 
termo, mais o quadrado do segundo termo. 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 + 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 + 2 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) + (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 
Exemplo 9. Desenvolva (2𝑥 + 3𝑦)2. 
Resolução 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 = (2𝑥)2 = 4𝑥2 
2 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = 2 ∙ 2𝑥 ∙ 3𝑦 = 12𝑥𝑦 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (3𝑦)2 = 9𝑦2 
Resposta: (2𝑥 + 3𝑦)2 = 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 
Exemplo 10. Desenvolva (4𝑥3 + 2𝑦)2. 
Resolução 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 = (4𝑥3)2 = 16𝑥6 → 𝑙𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 
Neste caso, para calcular (4𝑥3)2, conservamos a base e multiplicamos os expoentes! 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 13 
 
2 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = 2 ∙ 4𝑥3 ∙ 2𝑦 = 16𝑥3𝑦 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (2𝑦)2 = 4𝑦2 
Resposta: (4𝑥3 + 2𝑦)2 = 16𝑥6 + 16𝑥3𝑦 + 4𝑦2 
IMPORTANTE 
Note que (𝑎 + 𝑏)2 ≠ 𝑎2 + 𝑏2 
𝑎2 + 𝑏2 → 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 
𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠. 
(𝑎 + 𝑏)2 → 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 
𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜. 
 
 
Quadrado da diferença de dois termos 
(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Concluímos que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado 
do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo 
segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜− 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 − 2 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) + (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 
Exemplo 11. Desenvolva (4𝑚 − 3𝑛)2. 
Resolução 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 = (4𝑚)2 = 16𝑚2 
2 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = 2 ∙ 4𝑚 ∙ 3𝑛 = 24𝑚𝑛 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (3𝑛)2 = 9𝑛2 
Resposta: (4𝑚 − 3𝑛)2 = 16𝑚2 − 24𝑚𝑛 + 9𝑛2 
Produto da soma pela diferença de dois termos 
(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 − 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑏2 
(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 + 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 − 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 − (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 14 
 
Exemplo 12. Desenvolva (2𝑎 + 3𝑏) ∙ (2𝑎 − 3𝑏). 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 = (2𝑎)2 = 4𝑎2 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = (3𝑏)2 = 9𝑏2 
Resposta: (2𝑎 + 3𝑏) ∙ (2𝑎 − 3𝑏) = 4𝑎2 − 9𝑏2 
Cubo da soma de dois termos 
Para calcular (𝑎 + 𝑏)3 basta multiplicar (𝑎 + 𝑏)2 por (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)2 ∙ (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) ∙ (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 2𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro 
termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, 
mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o 
cubo do segundo termo. 
 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 + 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)3 + 3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) + 3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 + (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 
 
Exemplo 13. Desenvolva (2𝑥 + 3𝑦)3. 
Resolução 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)3 = (2𝑥)3 = 8𝑥3 
3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = 3 ∙ (2𝑥)2 ∙ (3𝑦) = 36𝑥2𝑦 
3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = 3 ∙ 2𝑥 ∙ (3𝑦)2 = 54𝑥𝑦2 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 = (3𝑦)3 = 27𝑦3 
Resposta: (2𝑥 + 3𝑦)3 = 8𝑥3 + 36𝑥2𝑦 + 54𝑥𝑦2 + 27𝑦3 
Cubo da diferença de dois termos 
Para calcular (𝑎 − 𝑏)3 basta multiplicar (𝑎 − 𝑏)2 por (𝑎 − 𝑏) 
(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎 − 𝑏)2 ∙ (𝑎 − 𝑏) 
(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2) ∙ (𝑎 − 𝑏) 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 15 
 
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 𝑎2𝑏 − 2𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 − 𝑏3 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro 
termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo 
termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, 
menos o cubo do segundo termo. O processo é praticamente igual ao caso 
anterior, só que os sinais vão se alternando. 
 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 + 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)3 − 3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) + 3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 − (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 
 
Exemplo 14. Desenvolva (3𝑥 − 4)3 
Resolução 
(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)3 = (3𝑥)3 = 27𝑥3 
3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)2 ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = 3 ∙ (3𝑥)2 ∙ 4 = 108𝑥2 
3 ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜) ∙ (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)2 = 3 ∙ 3𝑥 ∙ (4)2 = 144𝑥 
(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)3 = 43 = 64 
Resposta: (3𝑥 − 4)3 = 27𝑥3 − 108𝑥2 + 144𝑥 − 64 
02. (Pref. de São Gonçalo/RJ/CEPERJ) Dois números a e b são tais que 
𝑎 + 𝑏 = 6 e 
1
𝑎
+
1
𝑏
=
4
5
. 
Então, 𝑎2 + 𝑏2 é igual a: 
a) 12 
b) 15 
c) 18 
d) 21 
e) 24 
Resolução 
1
𝑎
+
1
𝑏
=
4
5
 
Dica: sempre que tivermos frações em uma equação, devemos multiplicar 
todos os termos pelo m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores. No 
caso, 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏, 5) = 5𝑎𝑏 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 16 
 
Vamos multiplicar o primeiro termo por 5𝑎𝑏. 
1
𝑎
∙ 5𝑎𝑏 = 5𝑏 
Vamos multiplicar o segundo termo por 5𝑎𝑏. 
1
𝑏
∙ 5𝑎𝑏 = 5𝑎 
Finalmente, multiplicar o último termo por 5𝑎𝑏. 
4
5
∙ 5𝑎𝑏 = 4𝑎𝑏 
E equação ficará assim: 
5𝑏 + 5𝑎 = 4𝑎𝑏 
Colocando o número 5 em evidência: 
5 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 4𝑎𝑏 
Como o enunciado nos informou que 𝑎 + 𝑏 = 6: 
4𝑎𝑏 = 5 ∙ 6 
4𝑎𝑏 = 30 
𝑎𝑏 = 7,5 
Agora vamos ao que nos interessa: calcular o valor de 𝑎2 + 𝑏2 
Vamos utilizar um artifício muito comum em questões deste tipo. Notou a 
semelhança da expressão 𝑎2 + 𝑏2 com a expressão (𝑎 + 𝑏)2? 
𝑎2 + 𝑏2 → 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 
𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠. 
(𝑎 + 𝑏)2 → 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 
𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜. 
Pois bem, esta expressão (𝑎 + 𝑏)2 é muito famosa em Matemática. É tão 
famosa e útil que é chamada de produto notável. 
Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 17 
 
Você está lembrado qual é o valor de 𝑎 + 𝑏? O enunciado nos informou que 
𝒂 + 𝒃 = 𝟔. E o valor de 𝑎𝑏, você está lembrado? Nós já calculamos e 
descobrimos que 𝒂𝒃 = 𝟕, 𝟓. 
(𝒂 + 𝒃)2 = 𝑎2 + 2𝒂𝒃 + 𝑏2 
(𝟔)2 = 𝑎2 + 2 ∙ 𝟕, 𝟓 + 𝑏2 
36 = 𝑎2 + 15 + 𝑏2 
36 − 15 = 𝑎2 + 𝑏2 
21 = 𝑎2 + 𝑏2 
Portanto, 𝑎2 + 𝑏2 = 21. 
Letra D 
 
 
03. (Pref. de Cantagalo/CEPERJ) Sabendo-se que: 𝑎 + 𝑏 = 2 e 𝑎𝑏 = 1/2, 𝑎3 + 𝑏3 
vale: 
a) 5 
b) 5/2 
c) 2/5 
d) 3 
e) 1/2 
Resolução 
Questão muito parecida com a questão anterior. A banca foi gentil e agressiva 
simultaneamente. Gentil porque forneceu diretamente os valores de 𝑎 + 𝑏 e de 
𝑎𝑏. Agressiva porque trocou o expoente da expressão pedida. Para calcular 
𝑎3 + 𝑏3 vamos ter um pouco mais de trabalho. 
A conversa é bem parecida com a da questão passada. 
Notou a semelhança da expressão 𝑎3 + 𝑏3 com a expressão (𝑎 + 𝑏)3? 
𝑎3 + 𝑏3
→ 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠. 
(𝑎 + 𝑏)3
→ 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜, 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜. 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 18 
 
Pois bem, esta expressão (𝑎 + 𝑏)3 é muito famosa em Matemática. É tão 
famosa e útil que é chamada de produto notável. 
Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
“Nunca vou lembrar-me deste desenvolvimento na hora da prova!” 
Calma... Há uma saída: utilizar a força braçal! 
Para calcular (𝑎 + 𝑏)3 basta multiplicar (𝑎 + 𝑏)2 por (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)2 ∙ (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) ∙ (𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 2𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
Bom, vamos voltar ao problema. Queremos calcular o valor de 𝑎3 + 𝑏3. 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
Observe as duas parcelas do meio no segundo membro: 
3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 
Podemos colocar a expressão 3𝑎𝑏 em evidência. 
3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 = 3𝑎𝑏 ∙ (𝑎 + 𝑏) 
Voltando ao produto notável: 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎𝑏 ∙ (𝑎 + 𝑏) + 𝑏3 
Sabendo que 𝒂 + 𝒃 = 𝟐 𝑒 𝒂𝒃 = 𝟏/𝟐: 
(𝒂 + 𝒃)3 = 𝑎3 + 3𝒂𝒃 ∙ (𝒂 + 𝒃) + 𝑏3 
(𝟐)3 = 𝑎3 + 3 ∙
𝟏
𝟐
∙ (𝟐) + 𝑏3 
8 = 𝑎3 + 3 + 𝑏3 
𝑎3 + 𝑏3 = 5. 
Letra A 
MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DO IBGE 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 19 
 
Pois bem, pessoal. Com estas questões vocês já devem ter percebido que 
nunca poderemos desprezar um assunto emMatemática. Mesmo assuntos 
simples (como produtos notáveis) podem exigir questões bem trabalhosas.