Problemas de Derivadas e Equações

Prévia do material em texto

214. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\sqrt{1 + e^x}) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)\sqrt{1 + e^x}} \). 
 - **Explicação:** Aplicação da regra da derivada para o logaritmo de uma função 
exponencial. 
 
215. **Problema:** Encontre a derivada da função \( g(x) = \sqrt{\cos(x^2)} \). 
 - **Resposta:** \( g'(x) = -\sin(x^2) \cdot \frac{2x}{2\sqrt{\cos(x^2)}} \). 
 - **Explicação:** Utilizando a regra da derivada para funções com raízes. 
 
216. **Problema:** Determine a derivada de \( h(x) = \ln(\cos(3x)) \). 
 - **Resposta:** \( h'(x) = -3\tan(3x) \). 
 - **Explicação:** Aplicação da regra da derivada para o logaritmo da função 
trigonométrica. 
 
217. **Problema:** Calcule a derivada de \( k(x) = \sqrt{\ln(x) - 1} \). 
 - **Resposta:** \( k'(x) = \frac{\frac{1}{x}}{2\sqrt{\ln(x) - 1}} \). 
 - **Explicação:** Utilizando a regra da derivada para funções com raízes. 
 
218. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\sqrt{1 + e^x}) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)\sqrt{1 + e^x}} \). 
 - **Explicação:** Aplicação da regra da derivada para o logaritmo de uma função 
exponencial. 
 
219. **Problema:** Encontre a derivada da função \( g(x) = \sqrt{\cos(2x)} \). 
 - **Resposta:** \( g'(x) = -\sin(2x) \cdot \frac{1}{\sqrt{\cos(2x)}} \). 
 - **Explicação:** Utilizando a regra da derivada para funções com raízes. 
 
220. **Problema:** Determine a derivada de \( h(x) = \ln(\sin(2x)) \). 
 - **Resposta:** \( h'(x) = \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} \). 
 - **Explicação:** Aplicação da regra da derivada para o logaritmo da função seno. 
 
Espero que esses problemas adicionais sejam úteis para você! 
Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos continuar com mais 170 problemas de 
equações do segundo grau com suas resoluções e respostas: 
 
201. Problema: Resolver a equação \( x^2 - 62x + 961 = 0 \). 
 - Resolução: Utilizando a fórmula quadrática, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
temos \( x = \frac{62 \pm \sqrt{0}}{2} \). 
 - Resposta: \( x = 31 \). 
 
202. Problema: Encontrar as raízes da equação \( 2x^2 - 130x + 1681 = 0 \). 
 - Resolução: Utilizando a fórmula quadrática, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
temos \( x = \frac{130 \pm \sqrt{0}}{4} \). 
 - Resposta: \( x = 32.5 \). 
 
203. Problema: Resolver a equação \( 3x^2 - 129x + 1369 = 0 \). 
 - Resolução: Utilizando a fórmula quadrática, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
temos \( x = \frac{129 \pm \sqrt{0}}{6} \). 
 - Resposta: \( x = 13 \). 
 
204. Problema: Encontrar as raízes da equação \( 4x^2 - 166x + 1936 = 0 \). 
 - Resolução: Utilizando a fórmula quadrática, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
temos \( x = \frac{166 \pm \sqrt{0}}{8} \). 
 - Resposta: \( x = 5.25 \). 
 
205. Problema: Resolver a equação \( x^2 - 64x + 1024 = 0 \). 
 - Resolução: Utilizando a fórmula quadrática, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
temos \( x = \frac{64 \pm \sqrt{0}}{2} \). 
 - Resposta: \( x = 32 \). 
 
206. Problema: Encontrar as raízes da equação \( 2x^2 - 130x + 1444 = 0 \). 
 - Resolução: Utilizando a fórmula quadrática, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
temos \( x = \frac{130 \pm \sqrt{0}}{4} \). 
 - Resposta: \( x = 32.5 \).