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52. **Problema:** Se \( x + \frac{1}{x} = 3 \), qual é o valor de \( x^5 + \frac{1}{x^5} \)? 
 **Resposta:** \( x^5 + \frac{1}{x^5} = 363 \). 
 **Explicação:** Use a relação \( (x + \frac{1}{x})^5 = x^5 + \frac{1}{x^5} + 5(x^3 + 
\frac{1}{x^3}) + 10(x + \frac{1}{x}) \) para resolver. 
 
53. **Problema:** Determine o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} \). 
 **Resposta:** A soma é \( 14 \). 
 **Explicação:** Use a fórmula para soma de séries geométricas para encontrar a soma 
da série dada. 
 
54. **Problema:** Qual é a soma das soluções reais de \( x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0 \)? 
 **Resposta:** A soma das soluções reais é \( 5 \). 
 **Explicação:** Use a relação entre os coeficientes e as raízes de polinômios para 
encontrar a soma das raízes. 
 
55. **Problema:** Se \( \sin x + \cos x = \frac{3}{2} \), qual é o valor de \( \sin 2x \)? 
 **Resposta:** \( \sin 2x = \frac{1}{2} \). 
 **Explicação:** Use as identidades trigonométricas para resolver para \( \sin 2x \). 
 
56. **Problema:** Qual é o valor de \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^3}{2^k} \)? 
 **Resposta:** A soma é \( 42 \). 
 **Explicação:** Use a fórmula para soma de séries geométricas para encontrar a soma 
da série dada. 
 
57. **Problema:** Se \( \tan x + \cot x = 2 \), qual é o valor de \( \tan^2 x + \cot^2 x \)? 
 **Resposta:** \( \tan^2 x + \cot^2 x = 6 \). 
 **Explicação:** Use as identidades trigonométricas para resolver para \( \tan^2 x + 
\cot^2 x \). 
 
58. **Problema:** Determine o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{4^n} \). 
 **Resposta:** A soma é \( 10 \).