matematica (55)

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**Enunciado:** Se \( x + \frac{1}{x} = 3 \), qual é o valor de \( x^3 + \frac{1}{x^3} \)? 
 **Resposta:** \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 18 \) 
 **Explicação:** Utilizando a identidade \( (x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + 
\frac{1}{x}) \). 
 
7. **Problema 7:** 
 **Enunciado:** Determine o valor de \( \tan 75^\circ \). 
 **Resposta:** \( \tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3} \) 
 **Explicação:** Utilizando a relação \( \tan 75^\circ = \tan(45^\circ + 30^\circ) \) e a 
fórmula da tangente da soma de ângulos. 
 
8. **Problema 8:** 
 **Enunciado:** Quantos números inteiros positivos satisfazem a equação \( x^2 - 5x + 6 
= 0 \)? 
 **Resposta:** Dois números inteiros positivos satisfazem a equação. 
 **Explicação:** Determinando as raízes da equação e verificando quais são inteiros 
positivos. 
 
9. **Problema 9:** 
 **Enunciado:** Se \( \log_{10} 2 \approx 0.3010 \), qual é o valor de \( \log_{10} 4 \)? 
 **Resposta:** \( \log_{10} 4 = 2 \times \log_{10} 2 \approx 0.6021 \) 
 **Explicação:** Utilizando propriedades de logaritmos. 
 
10. **Problema 10:** 
 **Enunciado:** Qual é o valor de \( \cos 105^\circ \)? 
 **Resposta:** \( \cos 105^\circ = -\sin 15^\circ = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) 
 **Explicação:** Utilizando a relação entre cosseno e seno de ângulos complementares. 
 
Vou continuar gerando os próximos problemas até completar os 100. 
Claro! Aqui estão 100 problemas matemáticos abrangendo cálculo binário e outras 
questões desafiadoras, cada um com resposta e explicação. Vamos começar: 
 
1. **Conversão Decimal para Binário:** 
 Qual é a representação binária do número decimal 25? 
 - **Resposta:** A representação binária de 25 é 11001. Explicação: Dividindo 25 por 2 
sucessivamente, obtemos os restos que formam o número binário. 
 
2. **Conversão Binário para Decimal:** 
 Qual é o equivalente decimal de 1101? 
 - **Resposta:** O número binário 1101 é equivalente a 13 em decimal. Explicação: \( 1 
\times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 \). 
 
3. **Operações Binárias:** 
 Calcule 1011 + 1101 em binário. 
 - **Resposta:** A soma de 1011 e 1101 é 11000 em binário. Explicação: Realiza-se a 
soma bit a bit considerando o transporte. 
 
4. **Conversão Decimal para Octal:** 
 Qual é a representação octal do número decimal 56? 
 - **Resposta:** A representação octal de 56 é 70. Explicação: Divide-se 56 por 8 
sucessivamente para obter os dígitos octais. 
 
5. **Conversão Octal para Decimal:** 
 Converta o número octal 127 para decimal. 
 - **Resposta:** O número octal 127 é equivalente a 87 em decimal. Explicação: \( 1 
\times 8^2 + 2 \times 8^1 + 7 \times 8^0 = 64 + 16 + 7 = 87 \). 
 
6. **Conversão Decimal para Hexadecimal:** 
 Qual é a representação hexadecimal do número decimal 255? 
 - **Resposta:** A representação hexadecimal de 255 é FF. Explicação: Divide-se 255 por 
16 sucessivamente para obter os dígitos hexadecimais. 
 
7. **Conversão Hexadecimal para Decimal:** 
 Converta o número hexadecimal 2A para decimal. 
 - **Resposta:** O número hexadecimal 2A é equivalente a 42 em decimal. Explicação: \( 
2 \times 16^1 + 10 \times 16^0 = 32 + 10 = 42 \).