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1. **Álgebra Linear**: Determine se o vetor \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 
\end{pmatrix} \) é linearmente independente no espaço tridimensional. 
 - **Resposta e Explicação**: O vetor \( \mathbf{v} \) é linearmente independente porque 
não pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores padrões \( 
\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \). 
 
2. **Cálculo Diferencial**: Calcule a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \ln(x) \). 
 - **Resposta e Explicação**: A derivada é \( f'(x) = e^{2x} (2 \ln(x) + \frac{1}{x}) \). 
 
3. **Geometria Analítica**: Determine a equação da esfera que tem centro em \( (1, -2, 3) 
\) e raio \( 4 \). 
 - **Resposta e Explicação**: A equação é \( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16 \). 
 
4. **Cálculo Integral**: Calcule \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação**: A integral é \( \frac{\sqrt{1+x^2}}{2} (1 + x^2) + C \). 
 
5. **Álgebra Linear**: Encontre a inversa da matriz \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 
\end{pmatrix} \). 
 - **Resposta e Explicação**: A matriz inversa é \( \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 
2 \end{pmatrix} \). 
 
6. **Geometria Euclidiana**: Calcule a distância entre os pontos \( A(2, 3) \) e \( B(-1, 4) \). 
 - **Resposta e Explicação**: A distância é \( \sqrt{10} \). 
 
7. **Cálculo de Sequências e Séries**: Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n(n+1)} \) converge e calcule sua soma, se convergir. 
 - **Resposta e Explicação**: A série converge e sua soma é \( 1 \). 
 
8. **Equações Diferenciais**: Resolva a equação diferencial \( y' + y = e^x \). 
 - **Resposta e Explicação**: A solução é \( y(x) = Ce^{-x} + e^x \), onde \( C \) é uma 
constante arbitrária. 
 
9. **Geometria Analítica**: Determine a área do triângulo formado pelos pontos \( (1, 2), 
(4, 6), (5, 3) \).