Conjuntos e suas Propriedades

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CONJUNTOS
Prof.: Ma. Vanessa da Luz
DEFINIÇÕES 
Um conjunto é uma coleção de objetos bem definidos chamados de
elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto e
vírgula, por exemplo, o conjunto dos números 7, 8 e 9 pode ser
denotado por {7, 8, 9}.
Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C, ..., X, Y, Z.
Já os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, ..., x, y,
z.
Podemos ter infinitos exemplos de conjuntos, como alguns descritos
abaixo:
• O conjunto das vogais;
• O conjunto formado pelos números ímpares;
• Conjunto dos alunos da Faculdade Única.
Para relacionar um elemento à um conjunto, utiliza-se a palavra e o símbolo
pertence.
Sejam B um conjunto e 𝒙 um elemento. Se 𝒙 pertence ao conjunto B,
denotamos:
𝒙 ∈ 𝑩
Caso 𝒙 não pertença ao conjunto B, usamos:
𝒙 ∉ 𝑩
Os conjuntos podem ser representados por diagrama de Venn.
Podemos observar que 𝒃 ∈ 𝑨, 𝒇 ∈ 𝑨,𝒎𝒂𝒔 𝒆 ∉ 𝑨 𝒆 𝒅 ∉ 𝑨.
A descrição de um conjunto pode ser realizada de duas formas: pelos
elementos, quando são listados ou pelas características/propriedades
do conjunto.
Quando os elementos são enumerados, eles são representados entre
chaves, como nos exemplos a seguir:
• Conjunto dos divisores de 2: {𝟏, 𝟐}
• Conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO 
Quando não são enumerados, os conjuntos podem ser descritos por
suas propriedades. Considere um conjunto A, com uma
característica Q para os elementos x, então escrevemos:
A={x│x tem a propriedade Q}
E lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a
propriedade Q”.
•{x|x é um estado da região Sudeste} pode ser representado por
{Minas Gerais, São Paulo, Rio de Janeiro e Espírito Santo}.
O conjunto unitário possui apenas um único elemento.
• Exemplo:
{x| x é um número par e primo}: {2}
Já o conjunto vazio, é um conjunto que não possui nenhum
elemento. E é representado pelo símbolo ∅ ou .
• Exemplos:
{𝒙| 𝒙 é í𝒎𝒑𝒂𝒓 𝒆𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝟒} = ∅
{𝒙| 𝒙 ≠ 𝒙} = ∅
CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO
CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 
Um conjunto é finito quando é enumerável, isto é, pode ser listado
seus elementos.
• Conjunto dos divisores de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Intuitivamente, o conjunto é infinito quando não pode ser contado,
ele não é enumerável.
• O conjunto dos múltiplos de 3: {0, 3, 6, 9, 12, ...}
Os conjuntos e elementos são analisados dentro de um conjunto
maior, que no caso, o conjunto universo. Observem nos exemplos a
seguir, como a mudança do conjunto universo, determina respostas
diferentes.
• Conjunto das soluções da equação 2x + 7 = 24 nos números
naturais: ∅
• Conjunto das soluções da mesma equação, 2x + 7 = 24 no universo
dos números reais: {8,5}
CONJUNTO UNIVERSO 
Dois conjuntos são iguais, quando todos os elementos do conjunto A
pertence a B, se somente se, todo elemento de B pertence a A. Essa
igualdade pode ser representada por:
𝑨 = 𝑩 ⟺ (∀𝒙)(𝒙 ∈ 𝑨 ⟺ 𝒙 ∈ 𝑩)
Exemplo:
• {a, e, i, o, u} = {e, i, a, u, o}
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Os símbolos são muito utilizados na matemática, observem alguns
usuais.
• o símbolo ∀ significa “para todo”;
• ⟺ “se somente se”;
• ∃ indica que “existe”;
• | significa “tal que”
Se escrevermos {a, b, c, d} = {a, b, b, c, d, d, d, d}, está correto?
Um subconjunto, como o nome sugere, é um conjunto menor que está
contido dentro de outro. Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B
se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.
Podemos escrever que, A⊂B, que significa que A está contido em B, ou A
é subconjunto de B.
Assim, traduzindo em termos matemáticos,
essa relação pode ser escrita como:
𝑨 ⊂ 𝑩 ⟺ ∀𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 ⟹ 𝒙 ∈ 𝑩
SUBCONJUNTOS 
Exemplos:
• 𝟑, 𝟒, 𝟓 ⊄ 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕 𝑨 ⊄ 𝑩 𝒐𝒖 𝑩 ⊅ 𝑨
Essa relação também pode ser descrita como 𝑩 ⊃ 𝑨, que significa que “B
contémA” ou “o conjunto B contém o conjuntoA”.
Como todos os conectores, há a negação, pois quando um subconjunto
não está contido (⊄) ou um conjunto não contém um subconjunto (⊅).
Considere três conjuntos quaisquer A, B e C, têm-se as seguintes
propriedades:
∅ ⊂ 𝑨
𝑨 ⊂ 𝑨 𝒓𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒗𝒂
𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑩 ⊂ 𝑨 ⟹ 𝑨 = 𝑩 𝒂𝒏𝒕𝒊 − 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑩 ⊂ 𝑪 ⟹ 𝑨 ⊂ 𝑪 (𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂)
PROPRIEDADES DA INCLUSÃO
Considere dois conjuntos A e B, a união de A e B é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B, ou seja,
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩}
Observe que o símbolo 𝑼 significa união, e se 𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ⟹ 𝒙 ∈
𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩.
Exemplo:
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒂, 𝒃, 𝒆, 𝒇 ∪ 𝒄, 𝒅, 𝒇, 𝒈
= 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇, 𝒈
UNIÃO DE CONJUNTOS 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, considere as seguintes propriedades:
• 𝑨 ∪ 𝑨 = 𝑨
• 𝑨 ∪ ∅ = 𝑨 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐
• 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂
• 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 𝒂𝒔𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂
PROPRIEDADES DA UNIÃO 
Dados dois conjuntos A e B, a interseção de A e B é o conjunto
formado por elementos que pertencem a A e a B. Como notação
matemática, temos:
𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩}
O símbolo ∩ significa interseção, isto é, 𝑨 ∩ 𝑩 é formado pelos
elementos que pertence A e B simultaneamente.
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS 
Exemplo:
Propriedades da Interseção
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, considere as seguintes
propriedades:
• 𝑨∩𝑨 = 𝑨
• 𝑨∩𝑼 = 𝑨 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐
• 𝑨∩𝑩 = 𝑩∩𝑨 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂
• 𝑨∩𝑩 ∩𝑪 = 𝑨∩ 𝑩∩𝑪 𝒂𝒔𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂
𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐚, 𝐛, 𝐞, 𝐟 ∩ 𝐜, 𝐝, 𝐟, 𝐠 = 𝐟
Considere os conjuntos A, B e C quaisquer conjuntos, sendo as
seguintes propriedades relacionadas a união e interseção:
• 𝑨 ∪ 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨
• 𝑨 ∩ 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨
• 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ 𝑨 ∪ 𝑪
• 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒊çã𝒐 𝒅𝒂 𝒓𝒆𝒖𝒏𝒊ã𝒐 𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 à 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆çã𝒐
• 𝑨 ∩ 𝑩 ∪ 𝑪 = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑪)
• 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒊çã𝒐 𝒅𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆çã𝒐 𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 à 𝒓𝒆𝒖𝒏𝒊ã𝒐
PROPRIEDADES
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, a diferença entre A e B é o
conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
𝑨 − 𝑩 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∉ 𝑩}
Exemplo
𝑨 − 𝑩 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖 − 𝟑, 𝟔, 𝟕 = 𝟏, 𝟐, 𝟒, 𝟓, 𝟖
𝑩 − 𝑨 = 𝟑, 𝟔, 𝟕 − 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖 = ∅
DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
Considere dois conjuntos A e B, tais que B está contido em A,
chama-se complementar de B em relação a A, o conjunto 𝑨 − 𝑩, ou
seja, os elementos de A que não está em B. O símbolo que
representa essa relação é:
∁𝑨
𝑩𝒐𝒖 ഥ𝑩
Complemento de B em A
Observe que ∁𝑨
𝑩 só é definido para 𝑩 ⊂ 𝑨, assim
temos ∁𝑨
𝑩= 𝑨 − 𝑩
COMPLEMENTAR DE B EM A 
FIXANDO O CONTEÚDO
5) (PUC/Campinas-SP) Numa comunidade
constituída de 1800 pessoas, há três
programas de TV favoritos: esportes (E),
novelas (N) e humorismo (H). A tabela a
seguir indica quantas pessoas assistem a
esses programas:
Programas
Número de 
Telespectadores
E 400
N 1220
H 1080
E e N 220
N e H 800
E e H 180
E e N e H 100
Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da
comunidade que não assistem a qualquer dos três tipos de
programas é:
A) 200
B) 300
C) 900
D) 100
E) n.d.a..
2) Considere três conjuntos A, B e C quaisquer. Assinale a alternativa
que representa (𝑩 − 𝑨) ∩ 𝑪.
ATÉ A PRÓXIMA AULA!